Журавлева Л. А. ИЗУЧЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ И В ВУЗЕ
Программа подготовки учителей начальных классов предусматривает изучение теории множеств, где рассматриваются теоретические основы данного раздела математики.
Логическое продолжение теория множеств находит при изучении других разделов курса математики.
В теме «Математические понятия» отношения между понятиями определяются через отношения объемов множеств. При рассмотрении математических предложений, в частности операций над предикатами, их множества истинности устанавливаются через операции над множествами.В основу элементов комбинаторики положены два основных правила: суммы и произведения, которые определяют число элементов объединения и декартового произведения множеств.
При изучении элементов алгебры, элементы теории множеств положены в основу таких вопросов как уравнения, неравенства, системы и совокупности уравнений и неравенств.
Особое место в теории математики занимает тема «соответствия между множествами», положения которой легли в основу изучения отношения равенства, сравнения и других отношений на различных числовых множествах, включая множество натуральных чисел.
Одним из основных разделов математики, изучаемых в вузе, является «натуральное число и ноль», где рассматриваются различные подходы к понятию натурального числа, в том числе и теоретико-множественный смысл натурального числа и числа ноль.
Изучение количественной теории натурального числа полностью основано на теории множеств. В нём даётся теоретико-множественное обоснование натурального числа, операций над натуральными числами, и все законы операций доказываются с помощью законов операций над множествами.
Можно сказать, что знания теории множеств являются фундаментом математической подготовки будущих учителей начальных классов.
Обучение математике в начальных классах осуществляется по различным программам и учебникам. Общим является усиление роли теоретикомножественных понятий.
Формирование простейших теоретикомножественных понятий целесообразно начинать еще в начальных классах, так как прочность усвоения любого понятия оказывается тем основательнее, чем раньше начато его изучение.Теоретико-множественные понятия составляют основу изучения всех разделов курса математики начальной школы. Так, формирование понятия натурального числа происходит на основе оперирования предметными множествами, установления принадлежности элемента данному множеству, взаимно однозначного соответствия между элементами множеств.
К усвоению арифметических действий сложения и вычитания над натуральными числами дети подводятся через операции над множествами предметов, выполняя объединение и вычитание данных множеств. Теоретико-множественная трактовка умножения лежит в основе разъяснения младшим школьникам смысла умножения. Основой формирования представлений о смысле деления является теоретико-множественный подход к трактовке частного, суть которого сводится к разбиению конечных множеств на равночисленные подмножества, не имеющие общих элементов.
Введение теоретико-множественных понятий на многочисленных примерах вполне доступно младшим школьникам. Именно из этих позиций исходят авторы большинства программ и учебников математики для начальных классов. Ознакомление учащихся с теоретико-множественными понятиями играет двоякую роль: с одной стороны помогает углубленно изучать традиционные разделы математики, с другой стороны способствует формированию самих теоретико-множественных понятий, воспитанию общего подхода к изучению математики в последующих классах.
В некоторых системах начального обучения математике предусмотрено изучение логических операций над множествами (Школа 2000 и 2100), где учащимся дается представление об операциях пересечения, объединения и вычитания множеств (без строгого математического определения).
Пересечением множеств А и В называют их общую часть, т.е. множество всех тех элементов, которые принадлежат одновременно множеству А и множеству В, и обозначают А П В. При выполнении заданий на пересечение множеств учащиеся устанавливают, что для нахождения пересечения множеств надо найти в этих множествах все общие элементы.
Объединением множеств А, В называют множество всех элементов А и В, т.е. всех тех предметов, которые являются элементами по крайней мере одного из этих множеств, и обозначают А и В. Например: если А={а,*,Ь,1,3} и В={с,3,а,*,6,