2. Априорность исходных представлений математики

Косвенное соображение в пользу положения об априорности истин элементарной математики проистекает из самоочевидности этих истин.

Общее теоретическое обоснование априорности исходных математических идеализаций требует рассмотрения структуры универсальной онтологии. То, что мы называем универсальной, абстрактной или категориальной онтологией, состоит из двух существенно различных частей, которые можно назвать, соответственно, причинной и предметной онтологией. Чтобы действовать, мы нуждаемся в наличии причинных связей.

Причинная онтология, однако, не исчерпывает всей сферы универсальных онтологических представлений. Для того чтобы действовать, мы нуждаемся не только в идеальных представлениях о причинных связях, но и в идеальных представлениях о предметах, с которыми мы действуем. Передвигая и вращая предметы, мы должны рассматривать их как те же самые. В процессе действия мы неизбежно опираемся на допущение тождества предметов и их внутренних связей, т. е. на идеальные представления о предметах как удовлетворяющих ';бщим условиям деятельности. Точно так же, как деятельность вырабатывает у нас идеальные представления об универсальности причинной связи, она вырабатывает и представления о мире как совокупности идеальных предметов, которые конечны в пространстве и времени, относительно стабильны в своих формах, отделены друг от друга и т.д. Наряду с каузальной онтологией, которая выражает собой идеальные условия акта действия, мы имеем систему праксеологических идеализаций, которая может быть названа предметной онтологией и которая представляет собой систему идеализированных представлений о предметах, проистекающую из общих условий деятельности.

Адекватное понимание математики как априорного знания достигается при осознании того факта, что в основе исходных математических идеализаций лежат универсальные представления предметной онтологии, выработанные деятельностью.

Обычный довод против априористского истолкования истин арифметики и геометрии исходит из факта их содержательности, приложимости к описанию счета и измерения в мире реальных предметов и свойств. Мы охотно верим, что ребенок усваивает арифметические истины в опыте, посредством манипулирования камешками и пряниками. Этот ход мысли, однако, не выявляет сути этих истин. Анализ процедур счета и измерения показывает, что они существенно определены представлениями идеальной предметности и имеет смысл только в рамках ограничений, предписываемых предметной онтологией. Как уже сказано, мы не пытаемся определить точное число волн на поверхности воды или число переживаний в нашей душе за определенное время суток. Наша деятельность счета ограничена ситуациями, соответствующими требованиям идеальной предметности и никакая сфера реальных объектов не может изменить этих требований. Арифметика представляет в своей сущности не что иное, как точное описание этих требований, продиктованных универсальной онтологией мышления. Но это означает, что законы арифметики не порождены процедурами счета, и их общезначимость и убедительность для нашего сознания проистекает не из практики счета, а из безусловной самоочевидности предметной онтологии. Ошибка философов-эмпириков состоит в том, что пытаются вывести понятие числа из операции счета, истолковывая сферу приложения арифметики в качестве источника ее истин.

То же самое, очевидно, относится и к процедуре измерения. Эта процедура была бы невозможной без предварительных представлений о количестве и величине, которые априорны и имеют свои истоки в структуре практики, т. е. в деятельностной установке человеческого мышления вообще. Мы должны отбросить идею, согласно которой необходимость измерения участков земли в хозяйственной практике людей была решающим фактором возникновения геометрической науки. Разливы Нила вряд ли сыграли ту роль в появлении геометрии, которую им приписывают эмпирически настроенные историки математики. В действительности, историческое становление первичных математических структур — это прежде всего результат развития самосознания, оформления в понятиях фундаментальных праксеологических интуи- ций, которые выявляются практической ориентацией мышления вообще и в очень малой степени зависит от возможности их приложения.

Онтологическая основа теории сама по себе не задает однозначно ее исходных определений и окончательное их установление связано с допущениями, не имеющими онтологического оправдания. Представление об абстрактной арифметической единице и о совокупности единиц имеет несомненно онтологическую природу, но при установлении системы операций, задающих математическую структуру, мы можем иметь несколько вариантов, которые не противоречат общему предметному видению. Если мы делаем главным для себя момент пересчета, связанного с перебором предметов, составляющих совокупность, и отождествляем количество предметов с количеством необходимых операций, то мы приходим к структуре арифметики. Если же мы делаем значимым для себя разделение предметов на тождественные и нетождественные, то мы приходим к операции теоретико- множественного объединения, при которой прибавление предметов, тождественных уже содержащимся во множестве, не изменяет этого множества. Мы можем, таким образом, утверждать, что на одной и той же онтологической основе могут возникать различные операциональные структуры, вследствие различия в интенциональных установках, не предопределенных предметной онтологией. Понимание становления первичных математических структур требует, таким образом, учета двух полюсов, которые выражаются в понятиях онтологии и ин- тенциональности.