1. Аргументы Брауэра

Здесь же находятся и истоки позиции Брауэра. В отличие от Кантора и Гильберта, ^которые были готовы включить в математику любые непротиворечивые понятия, Брауэр ставил своей задачей построение истинной математики, все понятия которой наполнены определенным содержанием. Он был убежден, что Пеано отрывает математику от ее основы, «превращает ее в набор лингвистических форм, которым ничего не соответствует в действительности. В своей первой работе об основаниях математики он пишет о логистике Пеано 'и Рассела: «Она (логистика — В.П.) не дает нам ничего для оснований математики, поскольку она остается радикально отделенной от математики... Чтобы предохранить себя от противоречий, она должна существовать как механическая стенография языка математики, который сам по себе не математика, а не более, чем подверженное ошибкам средство, используемое математиками для передачи математических утверждений друг другу и для удержания их в памяти»42.

Исходя из этих соображений, Брауэр сформулировал строгий критерий приемлемости математических суждений. Этот критерий он усмотрел в свойстве интуитивной ясности исходных математических объектов и в конструктивном введении производных объектов и их свойств. Отрицательная критика абстрактной математики, которая преобладала у Кронекера, была заменена позитивной программой представления математики на основе понятия конструктивности. Все аргументы Брауэра против классической логики прямо или косвенно связаны с этим критерием приемлемости математических суждений. Можно выделить (конечно, со значительной степенью условности) шесть таких аргументов44. 1.

От ПОНЯТИЯ математического существования. Математическое рассуждение может осуществляться в двух формах: как основанное на интуитивно ясной конструкции объекта и как вывод из принятых посылок, посредством некоторого набора логических принципов («логическая калькуляция»). Первичной для Брауэра является первая форма. Расширение математического знания за счет логики допустимо, по его мнению, лишь в тех пределах, в которых оно не выводит за рамки конструктивного подтверждения. Закон исключенного третьего, очевидно, не согласуется с такой установкой. «Если мы, — пишет Брауэр, -г- на некоторое время, оставим идею конструирования и будем свободно оперировать логическими правилами, следуя принципу силлогизма, закону непротиворечия и закону исключенного третьего, то можем ли мы быть уверенными в том, что каждая часть нашего рассуждения может быть подтверждена через возвращение к методу конструирования? Можно показать, что эта уверенность является вполне обоснованной для первых двух законов, но не для последнего»45. Если конструктивность объектов признана в качестве их необходимого свойства, то закон исключенного третьего не имеет универсальной значимости, поскольку он, требует признания объектов, недоступных для конструктивного анализа.

От понятия логического отрицания. Если утверждение о существовании объекта (свойства) понимать как возможность его построения (предъявления в конкретном виде), а отрицание как сведение к абсурду допущения о возможности построения, то отрицание отрицания некоторого свойства, очевидно, не тождественно его утверждению. Рассмотрим следующий пример. Зададим действительное число Р следующим образом: если в десятичном разложении числа /г имеется последовательность цифр 0123456789 и 0 является k-м знаком разложения, то Р = 0,33 .. .3, где после запятой стоит ровно к троек; если же такой последовательности цифр не существует, то Р = 0,333 ... = 1 /3. Согласно построению, число Р не может быть иррациональным, но, с другой стороны, мы не можем утверждать и его рациональности, поскольку не можем его предъявить, т. е. указать какой из двух случаев имеет место в действительности. Таким образом, отрицание отрицания свойства в общем случае не является достаточным для его утверждения, что очевидно противоречит смыслу закона исключенного третьего как универсально значимого логического принципа46. 3.

От парадоксов. Глубинной причиной парадоксов, обнаружившихся в теории множеств, является по Брауэру использование понятий, не имеющих математического (конструктивного) смысла, в частности, использование классической логики за пределами ее значимости. Законы классической логики— это только законы языка математики. Они приводят к бессмыслице и противоречиям, если начинают прилагаться к неконструктивным понятиям, к «математическим словам», не имеющим отношения к истинной математике. «Можно показать, — пишет Брауэр, — что парадоксы возникают из той же путаницы, что и у Эпименида, а именно, они возникают там, где законы языка математики распространяются на язык математических слов, который не связан с математикой. ...В конечном итоге все парадоксы исчезают, когда мы ограничиваем свои рассуждения системами, которые могут быть эксплицитно построены на основе базовой интуиции, другими словами, когда мы рассматриваем математику как предшествующую логике, а не наоборот»47. 4.

От неразрешимости. Если оба компонента формы «А или не-Л» истолковываются в смысле некоторой процедуры (построения или доказуемости), то утверждение этой формы в качестве универсального принципа становится, по мнению Брауэра, ничем иным как утверждением разрешимости всех проблем. «Вопрос о значимости принципа исключенного третьего, — пишет Брауэр, — эквивалентен вопросу о том, могут ли существовать неразрешимые проблемы. Нет никакого достаточного основания, которое иногда высказывается, что не существует никаких неразрешимых проблем»48.

В отличие от приведенных выше этот аргумент является более общим, так как он не предполагает конструктивного истолкорания утверждения и отрицания. Здесь достаточно предположить, что утверждение и отрицание связаны с доказуемостью в каком-либо смысле. Он покоится на предположении (которое впоследствии было строго доказано К. Геделем), что существуют истинные математические высказывания, неразрешимые в системе. 5.

От непроверяемости. Закон исключенного третьего безусловно применим к конечным множествам, ибо «для свойств, полученных с помощью закона исключенного третьего внутри специфически конечных систем, всегда достижимо их эмпирическое подтверждение, если мы имеем достаточно времени в своем распоряжении»49. Для бесконечных множеств такая проверка в принципе невозможна. Закон исключенного третьего, считает Брауэр, имеет определенный смысл и по отношению к бесконечному множеству элементов, если для конкретного свойства Р мы можем показать, что любой элемент этого множества либо обладает свойством Р, либо не обладает им. В некоторых случаях это возможно. Так, для каждого из натуральных чисел мы можем утверждать, что оно либо простое, либо составное, так как мы имеем способ эффективного определения принадлежности числа либо к множеству простых, либо к множеству составных чисел. Для множества свойств, однако, такой процедуры не существует. Здесь может иметь место неразрешимая или, по крайней мере, еще неразрешенная проблема и мы не имеем основания a priori предполагать выполнимость закона «А или не-А» для каждого из таких свойств.

Некто может возразить в том смысле, что существует объективное положение дел, независимое от наблюдателя, и что на самом деле все-таки существует только одно из двух: либо А, либо не-А Эти возражения, считает Брауэр, исходят из незаконной объективации математических истин, из метафизического предположения, что и после того, как человечество будет уничтожено, они будут существовать наряду с законами природы. Ценность интуиционистской математики, по его мнению, состоит в том, что она освободила математическое мышление от апелляции «к гипотетическому всеведующему существу»51. Г. Вейль писал в поддержку этой идеи Брауэра: «Принцип исключенного третьего для таких утверждений (для утверждений принадлежности или непринадлежности некоторого свойства всем числам натурального ряда — ВЛ.) мог бы быть справедливым для Бога, способного обозревать все натуральные числа как бы единым взором, но не для человеческой логики»52.

6. Генетический аргумент. Брауэр считает, что в своем развитии логика зависит от многих факторов и, в принципе, даже в сфере обычного мышления возможны различные логики. Он не исключает возможности, что люди, изолированные от нашей цивилизации, могут иметь существенно иную логику53. В своем развитии логика зависит от объектов мышления и изменяется с изменением содержания мышления. Традиционная логика математического доказательства сформировалась через оперирование с конечными совокупностями объектов. Вследствие привычки ее законам был приписан априорный характер и были утеряны представления об условиях ее применимости, связанные с ее происхождением. Сбои, которые начинает давать классическая логика в применении к бесконечным множествам, в этом плане вполне естественны. «...Догма универсальной истинности закона исключенного третьего должна рассматриваться как феномен истории цивилизации того же порядка, как и долго державшееся верование в рациональность числа ж или вера в то, что небесный свод вращается вокруг Земли»54.

Аргументы 1-4 можно назвать логическими, поскольку они исходят из некоторых фактов логики (из рассмотрения структуры чистых дока- зательств существования, из факта неполноты,теории и т.д.). Последние два аргумента являются методологическими или философскими, так как предполагают определенные допущения о природе логики и о праве математика высказывать априорные (недоступные проверке) суждения о бесконечных множествах.