§3. Философия математики. Некоторые нестандартные подходы в философии математики

Философия математики - учение о природе математического знания, в том числе математических доказательств. Задачей философии математики является выделение конфигурации мира, исключающей математические формализации

(философией математики занимался, например, И.

Описание существующих на сегодняшний день подходов в философии математики провёл В. А. Бажанов в работе «Стандартные и нестандартные подходы в философии математики» [9]. «Контуры философии математики как относительно самостоятельного философского направления начали обрисовываться, по-видимому, во второй половине XIX века. Однако оформление философии математики в качестве полноценной дисциплины и осознание её значения для судеб развития математики относятся к периоду кризиса в основаниях математики на рубеже XIX - XX веков» [9].

В. А. Бажанов упоминал общепринятые подходы к эпистемологической интерпретации природы математики, такие как интуиционизм, логицизм, формализм, конструктивизм, финитизм, эмпиризм и рассмотрел также альтернативные подходы философии математики, такие как натурализм, социальный конструктивизм, структурализм, контекстуализм, фикционализм, квази-эмпиризм. Указанные подходы в философии математики начинают развиваться примерно с середины XX века и заметно отличаются от стандартных подходов, поэтому условно их можно отнести к нестандартным подходам (направлениям) в философии математики.

По В. А. Бажанову, «Нестандартные подходы в философии математики, как правило, предлагают оригинальные и существенно новые ракурсы рассмотрения, которые позволяют высветить ранее незамеченные механизмы развития математического знания, математических методов и закономерностей развития этой науки» [9].

Натурализм, состоящий в отрицании значимости философии для математического знания, отрицает, таким образом, существование философии математики. Сторонники натурализма (Дж.

Социальный конструктивизм состоит в интерпретации математики как продукта социальной деятельности. С позиции этого подхода математика изменяется параллельно с изменениями в социальной сфере и культуре. Сторонники данного направления (Т. Тимошко, Р. Херш, П. Эрнест) видят математику как эмпирическую науку, успехи которой напрямую связаны с трансформацией социальной реальности [9].

Структурализм - подход, состоящий в утверждении и обосновании невозможности внесистемного описания и изучения рассматриваемых объектов. Сторонники данного подхода (Н. Бурбаки, М. Резник) считают бессмысленными всякие рассуждения об объекте, его структуре и свойствах, если последний не представлен как некоторая система [9]. По-видимому, сторонников данного подхода можно считать и сторонниками исследуемого нами теоретико­множественного подхода.

Контекстуализм направлен на изучение математики в контексте так называемых математических представлений. Таким образом, математика трактуется как элемент национальной, этнической культуры, а её изучение как формальной системы отходит на второй план [9].

Фикционализм - направление (подход), в котором принято рассматривать математику и математические объекты вне её (их) соотношения с какой-либо реальностью. Сторонники данного подхода видят математику как продукт чистой фантазии. Фикционализм принято считать формой современного номинализма

[9].

Квази-эмпиризм заключается в сравнении математики с естествознанием, в частности с физикой. Рассматривая в качестве объекта исследования методологию математики, сторонники квази-эмпиризма (Х. Пантем, И. Лакатос, Дж. Ст. Милль) отмечают, что математика имеет сходство с физикой, поскольку помимо доказательства теорем она занимается выдвижением и проверкой гипотез, и, следовательно, развивается гипотетико-дедуктивным способом, приближаясь, таким образом, к эмпирическому знанию [9].

Концепция «физиологического» истолкования математики - популярный подход в философии математики, отражающий эволюционную эпистемологию.

Сторонники данного подхода (Дж. Лакофф, Р. Нюньез, М. Джонсон, К. Девлин) склонны считать, что математические объекты не открываются, а конструируются, а математика, таким образом, является органичным продуктом развития средств человеческого познания [9].

В. А. Бажанов отмечал: «в современной философии математики можно наблюдать становление таких подходов, которые по своему духу близки дискурс­анализу или основанных на анализе эстетических особенностей математических процедур, позволяющих предпочитать одни доказательства другим в силу их большей изящности» [9, с. 7-9].

Отметим также некоторые другие нестандартные подходы, о которых говорил С. Л. Катречко^[6], опираясь на точку зрения В. В. Целищева, такие как: логический позитивизм, холизм, квазиэмпирический реализм, модализм, номинализм, предикативизм.

Таким образом, перечисленные подходы в философии математики позволяют, по меньшей мере, судить о значимости данного направления современной науки и отвергнуть натурализм. Безусловно, на сегодняшний день у нас есть основания подвергать сомнению математику со всеми её парадоксами. Обратимся к основаниям математики. Что такое число? Нечто, выдуманное человеком, нематериальная субстанция. Всё человечество пользуется числами - математической абстракцией, показывающей меру чего-либо. Таким образом, число существует лишь в мыслях и рассуждениях, в жизнедеятельности выходит за рамки математики, попадая, без исключения, в любую сферу повседневной реальности. Многие в связи с этим относят такие объекты как число, множество в категорию бытия. Но верно ли утверждение о том, что число выходит за рамки математики? Скорее всего, математика находит своё место в реальности, что само собой подтверждает значимость философского подхода к изучению математических аспектов любой науки, естествознания и повседневной реальности.

Другим столь же ярким примером выступает множество. В данном случае мы имеем несколько определений, что в целом упрощает понимание. Однако к понятию множество можно подойти критически. Не прибегая к формализации, мы можем легко сконструировать представления о множествах: множество ВУЗов в России, множество студентов в аудитории, множество картин в галерее, квартир в доме и др. Все эти множества конечны, но математика, говоря о числовых системах, даёт нам представление и о бесконечных множествах (N - натуральные числа, Z - целые числа, Q - рациональные числа, R - действительные (вещественные) числа, C - комплексные числа), элементы которых «нельзя сосчитать». Вопрос о бесконечности в немалой степени является философским, что в очередной раз возвышает её роль в математическом знании. Возникает вопрос, способен ли человеческий разум понять, что есть бесконечность. С математической точки зрения, к примеру, легко даётся понимание утверждения о том, что для любого натурального числа найдется число на единицу больше. Но как это представить в реальности, если сегодня существует точка зрения о том, что даже Вселенная имеет границы. Множество людей на планете - конечно, множество ресурсов Земли - также конечно. Таким образом, обладая недостаточным количеством знаний, можно поставить под сомнение практическую значимость изучения бесконечных множеств и бесконечности в целом, но в необозримых рамках математики бесконечные множества, безусловно, существуют.

Логика построения умозаключений работает по такой схеме, что для того, чтобы что-либо доказать, необходимо это сделать для всех случаев (если, конечно, вариация уместна в конкретном утверждении), а для того, чтобы что- либо опровергнуть, достаточно лишь одного примера. Речь идёт о теоретико­множественном подходе. Выходя за рамки математики, где на помощь приходит множество математических методов доказательства, в частности метод математической индукции, мы сталкиваемся с проблемой невозможности построения доказательств из-за отсутствия адекватного восприятия бесконечности.

Исследования прикладного характера почти всегда предполагают практическое использование результатов этих исследований на конечных множествах. К примеру, когда изобрели «удобный» каблук для женских туфлей, «удобство» обосновали с медицинской точки зрения, но не проверили это на всех женщинах планеты, то есть, с математической точки зрения, не доказали утверждение для всех случаев. Но ведь не доказано, что не найдется женщины, которая такой каблук посчитает менее удобным, то есть, с математической точки зрения, не доказана недоказуемость утверждения не-А. Доказательство с медицинской точки зрения подразумевает некоторый физиологический стандарт, идеал. Таким образом, приходится что-то возводить в абсолют, следовательно, приходится вести рассуждения о материальном с точки зрения идеализма.

В итоге, развивая тему, можно сделать вывод о том, что идеализмом пронизана вся наука, в частности математика, что позволяет ставить её под массовое сомнение. Здесь возникает дилемма, которую, к сожалению, мы создали сами. Следует задуматься, правильный ли подход мы выбрали, и данный вопрос имеет философский характер. Возможно, следует рискнуть отказаться от идеализма и проводить исследования частного характера, не обращая внимания на противоречия, довериться эмпирике.

Исходя из вышесказанного, можно сделать вывод, что, прежде всего, стоит полностью изменить мировоззрение и сформировать новое, возможно, с позиции теоретико-множественного подхода. Для решения этой проблемы, безусловно, следует обратиться к философии математики, которая всегда будет в своём развитии двигаться параллельно с развитием самой математики, играя важную роль в науке и реальности [111, с. 131-138].