§1. Генезис идей о множественности и множестве в математике и философии

Проблемное поле философии (да и науки тоже) на протяжении тысячелетий полно неразрешимых вопросов таких, как соотношения конечное-бесконечное, целое-часть, предельное-беспредельное, определяемое-неопределяемое, единое- многое и др.

Почти через 2 тысячи лет Галилей, в 1638 г. (кстати, заведовавший кафедрой математики в Пизанском университете), замечает, что следует отличать конечные и бесконечные множества, и ставит вопрос о способах их различения. Затруднения он усматривает в том, что «рассуждая нашим ограниченным разумом о бесконечном, мы приписываем ему свойства, известные нам по вещам конечным и ограниченным. Между тем это неправильно, так как такие свойства, как большая или меньшая величина и равенство, не применимы к бесконечному, относительно которого нельзя сказать, что одна бесконечность больше или меньше другой» [84, с. 81]. Различение множеств было установлено посредством определения нового понятия о них - мощности, введённой Георгом Кантором в 1877 году в предложенной им, так называемой теории множеств. С этого времени понятия «элемент», «множество», «мощность» или связка элемент- множество-мощностъ, приобретают права «гражданства» в науке, встречая массу приверженцев и противников. Прежде приведём предельно широкое, практически философское, определение множества Кантором, а затем несколько цитат из высказываний великих математиков современности, подтверждающих возникшую полемику о множествах и их месте в науке.

Кантор: «Под множеством мы понимаем любое объединение в одно целое М определённых вполне различимых объектов m нашего восприятия или мысли (которые называются элементами множества M)».

Давид Гильберт: «Никому не изгнать нас из рая, открытого Кантором».

Никола Бурбаки (единый псевдоним Жана Дальсарта, Андре Вейля и Анри Картана) (1949 год): «... Все математические теории можно рассматривать как расширение общей теории множеств. ... Я утверждаю, что на этом фундаменте можно построить всё здание сегодняшней математики».

Пол Коэн (доказавший самую важную теорему в теории множеств): «Анализируя математические рассуждения, логики пришли к убеждению, что понятие множества является самым основным в математике».

Рене Том (автор теории катастроф): «... Старая надежда Бурбаки увидеть математические структуры естественно возникающими из иерархии множеств, из их подмножеств и из их комбинаций является, несомненно, лишь иллюзией» (все цитаты по А. С. Бурундукову [16, с. 15]).

В связи с вышеизложенным, в данном параграфе мы ставим своей целью показать в ретроспективе непреходящий (неослабевающий) интерес к понятию «множество» и родственного ему понятия «единое-многое», породивших сложнейшие научные и философские вопросы об их правомочии в современной научной картине мира, и, более того, прояснить, как философская мысль в лице нашего современника Алена Бадью [8; 158], нашла давней идеи множества новые поля приложения.

Итак, теоретико-множественный подход в научной картине мира, как отмечалось, в качестве инструмента исследования использует понятие множества, а множество - это совокупность каких-то элементов. Элементы, в свою очередь, могут быть также представлены в виде некоторых множеств. Такие представления в античности породили, как известно, популярнейшую проблему философии - проблему «Единого-Многого» », первоначально для конечных множеств, а наше время и для бесконечных множеств. Умы философов на протяжении долгого времени были заняты вопросами: что есть Единое, что есть Многое, возможно ли Единое как таковое, возможно ли Многое само по себе, Многое ни есть ли Единое и наоборот.

С. Л. Катречко [46] указал на шесть типов философских систем, решающих проблему Единого-Многого, предложенных классиком русской философии А.Ф. Лосевым: 1) Есть только Единое и Многого не существует (элеаты); 2) Единое и Многое образуют систему противоположностей (Гераклит); 3) Существует механизм порождения из Единого Многого и наоборот - сходство с воззрениями Гераклита; 4) Единое и Многое существуют совместно, независимо друг от друга; 5) Единое и Многое имеют место быть - сходство с предыдущей системой, без упоминания о независимости; 6) Всё есть многое, Единого не существует (атомизм).

Отдельно С. Л. Катречко и А. Ф. Лосев отметили систему Эмпедокла, которая, рассматривая две противоположные силы - Любовь и Вражду, имеет сходства со второй, третьей и четвёртой системами, это можно установить путём несложных логических рассуждений. Мы проанализируем существующие мнения, учитывая современное мировоззрение.

Обратимся, для начала, к понятию Единого. В философских словарях, в первую очередь говорится, что Единое - фундаментальное понятие философии и математики. Пифагорейцы мыслили Единое, как начало числа - условия возможности любого знания. Согласно воззрениям милетцев, Единое можно понимать как «одно», не допуская множественности в себе, и как нечто, составленное из частей, объединяя которые Единое становится Единым (сохраняется множественность в составе Единого). Во втором случае непроизвольно возникает желание заменить «Единое» на «Целое» - понятие, о котором говорил Гераклит в своей антитезе «Единое-Многое» [21]. По Гераклиту, Единое понимается как нечто исчислимое. Платон рассматривал Единое как сущность, что соответствовало воззрениям элеатов. Платон считал, что Единое является предпосылкой бытия и познания. Отлично от элеатов, он показал (см. «Парменид» [86; 164]), что любое высказывание о Едином, сразу делает его Многим.

Изучая платоновское решение проблемы Единого-Многого, П. П. Г айденко отметила, что по Платону, «существует только Единое, а многого нет; истинно только сверхчувственное, а чувственное - сфера мнения» [24].

Аристотель не признавал Единое сущностью и считал, что существование Единого самого по себе повлекло бы за собой «несуществование» ничего иного. Плотин мыслил Единое как самостоятельное неделимое начало, а согласно философии неоплатонизма Единое понималось как начало множества. Боэций отрицал существование всего, что не едино, считая, что «Бытие и Единое обратимы». Николай Кузанский утверждал, что «Единое есть всё». Декарт в теологическом контексте признавал Единое высшим совершенством, присущим одному Богу, а Шеллинг и Г егель видели начало единства в «Я», выступающим, согласно их учению, абсолютным субъектом.

В. С. Соловьёв, говоря об истине (см. «Критика отвлечённых начал» [130, с. 691-692]) чётко обозначил, что истина есть - Единое. Полное определение истины он выразил в предикатах: сущее, единое, всё. На вопрос, что есть Единое, В. С. Соловьёв ответил: «Прежде всего, оно есть, конечно, «Немногое», но, если оно есть только Немногое, т.е. простое отрицание Многого, тогда оно имеет Многое вне себя, тогда оно существует вместе или рядом со Многим, т. е. оно уже не есть Единое, а только Одно из Многого или часть (элемент) Многого, тогда одно существует так же самостоятельно, как и другое (Многое), и то и другое, то есть и Единое и Многое, могут иметь одинаковое притязание на истину; но в таком случае истина распадалась бы и противоречила бы себе. Итак, Единое, как истина, не может иметь Многое вне себя, т.

Обращаясь к современному мировоззрению людей, не увлечённых философией как наукой, можно смело утверждать, что на вопросы, что есть Единое и что есть Многое, последуют какие-то ответы, а вероятность того, что кто-то отвергнет категорию Единого или Многого ничтожно мала. Так, представления Единого, в конечном счёте, будут сведены к абстракциям, и будут регламентированы определениями, подразумевая начало некого множества, соответственно неоплатонизму. Так, любое Единое может быть сопоставлено с «Одно», например - один человек, один стул, одна страна и так далее. Всё перечисленное можно разбить на части, и всё перечисленное является элементами множеств. Таким образом, можно придерживаться позиции, согласно которой Единое и Многое имеют равные права на существование, равные права на истину. Возникает вопрос, не будет ли мыслимое деление вещи на части лишать её смысла. Например, человек состоит из частей тела, но каждая часть, взятая отдельно, не имеет самостоятельного значения.

Другой пример, ртутный термометр - физический прибор, предназначенный для измерения температуры. В рамках идеализации, имея лишь материю и форму, термометр можно назвать термометром, но отдельно взятая ртуть не в силах показать температурную величину в градусах, как не в силах это сделать «стекляшка» без ртути. Отсюда следует, что Единое - термометр, но никак не {форма + ртуть}.

Наконец, приведём пример, когда Единое есть Единое и есть Многое в зависимости от «места его нахождения». Рассмотрим множество натуральных чисел, в котором единица есть его элемент - единый и неделимый. Однако при рассмотрении множества вещественных чисел единицу можно представить как множество. В таком случае Единое рассматривается как Целое, единица может быть составлена, например, из дробей (внутренняя множественность). Таким образом, как мы сказали выше, представление Единого регламентируется определением. К тому же данный пример наводит на вопрос - возможно ли Единое само по себе, без Многого.

Переходя к множеству в контексте античной проблемы Многого, попытаемся установить, из чего оно состоит. Наиболее простой ответ - множество состоит из элементов. Если каждый элемент представляет собой Единое, тогда это Единое нужно мыслить либо как Одно, либо как неделимое самостоятельное начало. В противном случае мы вновь имеем дело с множеством, но уже внутри другого множества и так вопрос повторяется снова и снова. Такой процесс имеет шанс не быть завершённым. Выйти из замкнутого алгоритма можно путём обращения к понятию Целого, тогда нас устроит утверждение, что множество состоит из элементов, каждый из которых - Единое, но в одном случае «Одно», в другом «Целое», в третьем, например, «Атом». Рассуждая о Многом, Платон поднимает вопрос: возможно ли Многое без Единого. Сам Платон считал, что Многое без Единого было бы сопоставимо с хаосом, а значит с Небытием. Множественность по Платону - это множество единых (а по Евклиду «число есть множество, сложенное из единиц», а сами числа образуют как счётные, так и несчётные множества).

Множественность критикует Зенон, считая, что Бытие не может быть множественным. Зенон отвергал актуальную бесконечность, но при этом понимал, что к конечному множеству вещей всегда можно добавить новые вещи - в противоречие с понятием конечности. Проблема Единого-Многого была обозначена в апориях Зенона, наиболее известные из которых - Ахиллес и Черепаха; Дихотомия. Эти апории предполагают непрерывность и бесконечную делимость пространства и времени (но странно, что он не осознавал того, что сумма отрезков бесконечно делимого целого конечна; но тогда не возникает самой проблемы, а проблема должна была быть).

Действительно, известны математические методы, согласно которым парадокс бесконечности в данных апориях можно обойти. Так, например, можно рассмотреть бесконечный ряд (временных интервалов) и показать, что он сходится, а значит, Ахиллес догонит и обгонит черепаху. Если же рассматривать пространство-время как дискретную категорию, то парадоксы бесконечности вовсе исчезают (Бурбаки). Однако Бернайс и Гильберт обратили внимание на то, что в реальности немыслимо завершение бесконечной последовательности, что легко «случилось» в рамках математической модели. Выходит математика устраняет парадокс и, в то же время, подтверждает его наличие. В первом случае это обусловлено сходимостью ряда, во втором - невозможностью практической реализации математической модели. Выдающийся математик М. Клайн по этому поводу замечает: «Природа и математическое описание природы - не одно и то же, причём различие обусловлено не только тем, что математика представляет собой идеализацию... Природа, возможно, отличается несравненно большей сложностью, или структура её не обладает особой правильностью» [49, с. 401­402].

Зенон рассматривал реальное движение, но в этом случае можно обратиться к физическому эксперименту. Из школьного курса физики известны задачи, где требуется установить, через какое время объект А настигнет объект В. Возвращаясь к апории Зенона отметим следующее: если Черепаха движется со скоростью х, а Ахиллес со скоростью 10х, то расстояние в 1000 шагов Ахиллес пройдёт за время t. Следовательно, от начала отсчёта за время 2t Ахиллес пройдет 2000 шагов, а Черепаха - 200 шагов (или 1200 с точки отправления Ахиллеса). Действительно будет именно так, обладая навыками компьютерного моделирования, можно продемонстрировать данный эксперимент, тогда не понадобится ни Ахиллес, ни Черепаха.

В пользу множественности отдаёт свой голос современный французский философ Ален Бадью. В своём «Философском манифесте» [8, с. 66-72; 158] он раскрывает проблему, связанную с категорией истины, противоположно В. С. Соловьёву. По словам А. Бадью, для того, чтобы существовала истина, необходимо «заявить о Единстве множественности... Предложить доктрину истины, совместимую с неустранимой множественностью бытия-как-бытия. Истина может быть только особым производством некоей множественности» [8, с. 67]. Здесь А. Бадью на первый план выдвигает категорию «родовой множественности», способную обеспечить восприятие истины как множественного результата особой процедуры. А. Бадью отмечает, что понятие родовой множественности предложил американский математик П. Дж. Коэн в процессе математической деятельности, решая проблему мощности множеств, бывшую камнем преткновения математиков в течение всего ХХ века.

А. Бадью пишет, что «понятие родовой множественности закрыло первый этап той онтологической теории, которая со времён Г. Кантора носит имя теории множеств. (Понятие родового) указывает на статус определенных множественностей, которые одновременно вписываются в ситуацию и вполне обоснованно затевают в ней неизбежно свободный от любого именования случай.

Такое множественное пересечение установленной обоснованности какой-либо ситуации и событийной случайности, которая её дополняет, и есть в точности место истины данной ситуации. Эта истина является результатом бесконечной процедуры, и о ней только и можно сказать, что, если предположить завершенность этой процедуры, она «окажется» родовой или неразличимой» [8, с. 68-69].

Мы провели философско-научный и историко-философский анализ проблемы понятия «Единого-Многого» и понятия «множество» в контексте теоретико-множественного подхода. Было установлено, что анализируемые понятия не нашли окончательного решения, что, несомненно, обусловливает неослабевающий интерес к понятию «множество» и родственного ему понятия «Единое-Многое», породивших сложнейшие научные и философские вопросы об их правомочии в современной научной картине мира [116].