4. Идея геометрического обоснования

Мы должны обратиться здесь к истории развития математики, чтобы понять причины этого столь продолжительного заблуждения. Борьба аналитиков XIX века с геометрической очевидностью имеет свои истоки в событиях более раннего времени. Математики XVIII века, пытаясь установить полную строгость в анализе, скоро выяснили, что одним из препятствий для этого является идущее от Ньютона соединение анализа и механики. Появилась методологическая установка — мы ясно видим ее у Лагранжа, Даламбера и Эйлера — обосновать анализ как первичную дисциплину, автономную от механики, т. е. без ссылок на очевидности, связанные с движением. Борьба с механическими аналогиями в доказательстве теорем математического анализа, вполне оправданная с точки зрения современного понимания математической строгости, превратилась затем в борьбу с геометрической очевидностью, в требование отказа от чертежей и от геометрической наглядности вообще. Это достаточно понятно, так как геометрия рассматривалась в то время как наука о пространстве и, следовательно, как наука, родственная механике. Важно отметить, что стремление к вытеснению геометрической очевидности из анализа в XVIII веке не проистекало из каких-либо фактов ненадежности этой очевидности, а исходило в основном из философских представлений о геометрии как части механики.

И факты, и общая теория математической очевидности позволяют нам утверждать, что двухвековая борьба математиков против геометрической очевидности покоилась на заблуждениях. В действительности, геометрическая очевидность имеет ничуть не менее высокий статус, чем очевидность арифметическая, и она с полным основанием может быть использована как исходная база для обоснования математики. Но геометрическая очевидность богаче, чем арифметическая. В определенной степени это очевидность континуума. По этой причине расширение интуиционистской точки зрения за счет геометрии представляется наиболее важным и перспективным.

Практика обоснования математики на основе геометрической очевидности, несомненно, потребует более точного определения того, что мы можем считать здесь непосредственно данным и не нуждающимся в обосновании.

Признавая геометрическую очевидность наряду с арифметической и логической, мы существенно раздвигаем сферу интуиционистского подхода к обоснованию математики. Прежде всего мы получаем возможность перевести некоторые относительные доказательства непротиворечивости в ранг абсолютных. Геометрическая интерпретация комплексных чисел, открытая Гауссом, всегда понималась и понимается в настоящее время как доказательство непротиворечивости теории комплексных чисел по отношению к евклидовой геометрии и к арифметике действительных чисел. Однако, если мы понимаем систему построений на' плоскости, необходимую для оправдания комплексных чисел как определенную в рамках аподиктической очевидности, то мы можем считать, что теория комплексных чисел получает в результате этой интерпретации абсолютное обоснование своей непротиворечивости. Сам Гаусс рассматривал свою интерпретацию как «истинно метафизическое обоснование комплексных чисел»36. Мы сегодня должны подтвердить эту мысль Гаусса в том смысле, что мы можем утверждать, что комплексные числа находят в геометрии свое окончательное обоснование. Этот вывод становится ясным в свете обоснованного выше принципа, согласно которому система аподиктически очевидных аксиом обладает абсолютной непротиворечивостью.

Аналогичные соображения, несомненно, применимы и к известным геометрическим интерпретациям логики. Круги Эйлера и диаграммы Венна всегда рассматривались и рассматриваются по сей день лишь в качестве геометрической иллюстрации логических отношений, которая полезна с эвристической точки зрения.

Попытка сделать геометрическую очевидность исходным пунктом обоснования математики была предпринята Г. Фреге в последний период его жизни. Если в период логистических исследований Фре- ге отодвигал геометрическую очевидность в сторону как содержащую психологический и эмпирический компонент, то постепенно он приходит к выводу, что эта интуиция не имеет отношения к опыту, что она является более широкой, чем арифметическая, ибо содержит в себе «наиболее полное и строгое определение бесконечности», и что именно она обеспечивает надежность математического мышления в целом. «...Арифметика и геометрия, — пишет Фреге, — выросли на одной и той же почве, а именно геометрической, так что вся математика есть, собственно говоря, геометрия»38. В заметках, относящихся к этому периоду, мы видим набросок нового подхода к обоснованию математики, который сводится к тому, чтобы подойти к обоснованию арифметики и других числовых систем, исходя из геометрической интерпретации комплексных чисел. Из непротиворечивости теории комплексных чисел, оправданной на основе геометрической очевидности, должна следовать безусловная непротиворечивость аксиоматики действительных и натуральных чисел39.

Хотя Фреге не сделал существенного продвижения в конкретной разработке своего нового плана обоснования математики, намеченный им методологический сдвиг бесспорен. Нам важно, что Фреге приходит к ясному пониманию того, что геометрическая очевидность не имеет никакого отношения к эмпирической очевидности, и что она не менее надежна, чем очевидность арифметическая или логическая. Фреге преодолевает ложное мнение, состоящее в том, что геометрическая очевидность связана с опытом и вносит нестрогость в математическое рассуждение. Мы можем рассматривать последние работы Фреге как принципиально новый шаг в совершенствовании путей обоснования математики. Он может быть понят как введение особой геометрической программы обоснования математики, которая противостоит всем другим программам, или как расширение интуиционистской программы обоснования за счет введения геометрических представлений в качестве исходных.

Последняя трактовка имеет некоторое преимущество. В статье «Интуиционизм и формализм» Брауэр присоединяет к исходной интуиции числа и прибавления единицы также и общую идею континуума40. В дальнейшем развитии интуиционистской программы, однако, эта мысль Брауэра была утеряна и континуум превратился в производный объект, конструируемый на основе арифметических операций. В этом смысле идеи Фреге можно истолковать как возвращение к первоначальной и более богатой форме интуиционистской программы, которая выдвигалась в свое время самим Брауэром.

Как показывают существующие исследования, геометрический интуиционизм содержит в себе возможности обоснования, выходящие за пределы собственно арифметического интуиционизма. Здесь можно указать на работы Ю.А. Гастева, который еще в начале 60-х годов XX века показал, что основная часть математического анализа может быть обоснована, исходя из постулатов, относящихся к геометрии прямой41.

Отличие геометрического обоснования анализа от арифметического обоснования Вейля состоит в понимании статуса геометрической очевидности. Вейль видел различие между Дедекиндом и Евдоксом в понимании континуума в том, что если Дедекинд строит континуум и строго доказывает наличие нижней грани и множества положительных действительных чисел, то Евдокс берет это как простой геометрический факт42. Метод Евдокса Вейль считает несовместимым с пониманием математической строгости. С праксеологической точки зрения арифметический ригоризм неоправдан. В конечном итоге и сам Вейль вынужден опираться на аксиому непрерывности, которая имеет корни в геометрических представлениях. Мы должны уйти от идеала арифметизации и понять безусловную значимость геометрической очевидности для оснований математики.

Принципиально важно, что в рамках геометрии с самого начала может быть введено понятие завершенного бесконечного множества, эквивалентного множеству точек на прямой, и, таким образом, задана база для обоснования основных принципов теории множеств. Геометрическая интерпретация анализа, предложенная Гастевым, неполна в том смысле, что она по вполне понятным причинам не захваты- вает аксиому выбора и связанные с ней утверждения анализа. Намеченная здесь теория онтологической истины позволяет оправдать эту аксиому в геометрическом контексте, исходя из допущения полной совместности всех онтологически означенных принципов математики. При допущении непрерывности прямой как исходного интуитивно оправданного тезиса, геометрия может быть построена конструктивно, а это дает возможность в некотором существенном смысле восстановить конструктивный характер намеченного геометрического обоснования анализа.

Из сказанного ясно, что отсутствие среди программ обоснования математики особой программы, основанной на геометрии, является только следствием предрассудка относительно природы геометрической очевидности, господствовавшего в умах математиков в течение двух столетий. Устранение этого предрассудка существенно расширяет пределы интуиционистского обоснования математики и обосновательного мышления в математике в целом. Без специального анализа трудно говорить о реальных перспективах и границах геометрического обоснования математики, но уже общие соображения показывают, что геометрический подход существенно раздвигает сферу обоснования, основанного на арифметике.

Общий вывод, к которому мы приходим, достаточно ясен. Хотя первоначальный интуиционизм предельно ограничен в своих обоснова- тельных возможностях, при более зрелых методологических установках он может быть трансформирован в достаточно эффективную программу обоснования непротиворечивости математических теорий. Это может быть достигнуто на основе реабилитации классической логики, а также и через утверждение обосновательного статуса геометрической очевидности. Имеются основания предполагать, что расширение интуиционистского подхода по этим двум направлениям дает достаточную основу для полного логического обоснования математического анализа ряда других теорий современной математики.

Вопрос о том, в какой мере таким образом реформированный интуиционизм можно будет называть интуиционизмом, не имеет большого отношения к делу. Нам важно уяснить то обстоятельство, что руководствуясь идеей содержательной математической интуиции, мы можем достигнуть абсолютного обоснования достаточно широкой сферы математического знания, не прибегая к идее формализации теорий или к идее их редукции к системе общезначимых принципов логики. Такой чисто содержательный путь обоснования несомненно существует, и это дает основание считать, что в усеченном и неразвитом виде интуиционизм содержит в себе истину принципиально важную для понимания путей обоснования математики. Задача современной философии математики состоит в том, чтобы выявить эту истину в более точных понятиях и связать ее с реальной методологией математики.