. Критика философских аргументов

Традиционная философия исходила из идеи универсальности логических норм и их независимости от материала мышления. Эта позиция с полной ясностью была выражена И. Кантом. Согласно Канту, логика — это наука не для частных видов предметов, но для предметов вообще.

Многие логики и философы допускали зависимость логических норм от опыта. У Дж.Ст. Милля, как мы видели, логика представляет собой систему конвенций, отражающих связь между психическими состояниями субъекта. У Спенсера логика отражает общую структуру вещей и в этом смысле также зависит от некоторого аспекта реальности. В принципе, и у Милля, и у Спенсера логика может изменяться в процессе эволюции человеческого мышления. Но важно отметить, что в обоих этих случаях логика зависит от некоторого общего (идеального или материального) основания, и ее возможное изменение не нарушает ее универсальности: это изменение может быть здесь лишь переходом от одной системы универсальных норм к другой. Логика в таком ее понимании не априорна, но неизменно универсальна, одинакова для индивидов и всех областей знания.

Брауэр в своем понимании логики занял крайне релятивистскую позицию: логика зависит у него от типа рассматриваемых объектов и, таким образом, заведомо и неаприорна, и неуниверсальна. Логика математики может отличаться у него от логики обычного языка, а логика теории множеств должна быть другой, чем логика арифметики. С точки зрения современной теории познания эта позиция является совершенно неудовлетворительной. Наиболее значимые современные концепции логики — операционалистская и эволюционная — оправдывают идею универсальности логических норм. Позиция Брауэра опровергается и историей науки.

Факт универсальности логики становится предельно ясным в рамках праксеологической концепции познавательных норм, в которой логика понимается как система требований к форме мышления, продиктованная практической ценностью знания. С этой точки зрения логика универсальна, поскольку ее внутренняя структура не связана с каким-либо конкретным опытом и с эмпирическими подразделениями вообще.

Законы логики являются идеально нормативными в том смысле, что они идут от должного, от идеальных задач знания, но не от его реального состояния. На этом, собственно, основан и сам механизм действия логических норм. Наше знание, как правило, далеко от истины, понятия не обладают определенностью, исходные суждения не согласованы друг с другом. Но в теоретическом мышлении, на уровне формального соподчинения понятий, мы действуем с ним исходя из предположения абсолютной истинности посылок, полной определенности понятий и непротиворечивости исходных описаний. Это дает возможность увидеть отклонения нашего знания от идеала и внести изменения в систему наших посылок. Эффективность логики как механизма дедукции состоит, таким образом, в априорном приложении идеала к некоторому явно не идеальному положению дел. Трактовка логики как зависимой от материала мышления лишает ее принципы нормативного статуса, ибо индуктивное знание не может быть строгой нормой для другого индуктивного знания. Логика эффективна именно за счет своей идеальности, полной независимости от материала мышления.

Идея зависимости логики от материала мышления, на которой настаивал Брауэр, является с этой точки зрения элементарным заблуждением, проистекающим из упрощенного эмпирического понимания структуры научного знания, типичного для XIX века.

С праксеологической точки зрения мы должны отвергнуть также и общий тезис Брауэра о первичности математики перед логикой. Брауэр, несомненно, прав в том, что математика базируется на собственных интуициях, и что математик не нуждается в логике, когда он движется на уровне интуитивно ясных математических конструкций. Мы должны признать наличие интуитивной основы математики, независимой от логики. Исходя из этой правильной и глубокой идеи, Брауэр пытался определить логику на основе математики, дать ее принципам математическое истолкование и, таким образом, установить точные границы ее действия. Он пытался свести логику к математике, точно так же как Фреге и Рассел пытались осуществить обратную редукцию. В настоящее время, однако, ясно, что оба эти проекта являются бесперспективными. Хотя математика в своих исходных интуициях независима от логики но и логика не в меньшей степени независима от математики, ибо она базируется на очевидностях иной природы, имеющих более общий характер и не связанных со спецификой математического зяания.

Замысел Брауэра состоял в том, чтобы построить математику совершенно независимо от логики, основываясь только на собственно математической интуиции, связанной с идеей построения. То, что при этом называется логикой, — ато не часть классической логики и не логика вообще, а только система схем преобразования, соответствующих понятию конструктивности, запись переходов, сохраняющих конструктивность в языке классической логики. Различие между классической и интуиционистской логикой состоит не в том, что последняя не содержит тех или иных форм вывода, но в смысловой основе, с которой они связаны): если классическая логика опирается на категориальные интуиции, представляя собой универсальную онтологию мышления, то интуиционистская логика базируется только на интуиции конструирования, то есть на представлениях специального вида.

С праксеологической точки зрения мы должны отбросить и требование проверяемости. Идея проверяемости законов логики несостоятельна, поскольку эти законы — не индуктивные обобщения на основе опыта, а нормы, накладываемые на мышление его функцией. Мы запрещаем принятие А и не-А одновременно не потому, что знаем, что нигде в мире А и не-А не могут сосуществовать, а потому, что такое принятие разрушило бы практическую ориентацию нашего знания, потому, что теория отвечающая на наши вопросы суждениями в форме «А и не-А» не имеет для нас практической ценности. Аналогичным образом, мы утверждаем «А или не-А» в качестве истинного и универсального принципа не потому, что он в достаточной степени проверен в опыте, а по той причине, что этот принцип заключает в себе требование точности понятий, проистекающее из допущения истинности посылок рассуждения. Деление всех вещей в мире относительно любого признака А на два класса: А или не-А — идет не от фактов, не от возможности проверки, а от фундаментального подразделения бытия и небытия, имеющего праксеологическую природу и лежащего в основе всякого рационального мышления. Эти законы — не обобщения опыта, а нормы, навязанные функцией знания.

Здесь мы видим эмпирические и индуктивистские истоки мышления Брауэра. Высказывания о конечных множествах, по его мнению, надежны, поскольку можно достичь их подтверждения, просматривав элементы множества друг за другом. Это представление, имеющее смысл в сфере опытного знания (на нем основано различение полной и неполной индукции), становится смутным и практически бессодержательным в применении к математике. П. Бернайс справедливо указывал на то обстоятельство, что Очень большие конечные множества столь же недостижимы для нас в смысле проверки, как и множества бесконечные55.

Не все математические свойства в одинаковой степени разрешимы. Мы имеем конечную процедуру определения того, является ли данное натуральное число простым или составным, но мы не имеем аналогичной процедуры относительно свойства рациональности —? иррациональности действительных чисел. Связывать приемлемость принципов логики с определенными свойствами со степенью их разрешимости, настаивать на том, что утверждение «Каждое натуральное число либо простое, либо составное» является более надежной посылкой математического рассуждения, чем утверждение «Каждое действительное число либо рационально, либо иррационально» —? значит искажать статус логики как универсальной нормативной структуры, подчинять нормы логики внутренним особенностям понятийных систем и степени определенности понятий. В действительности, логика не имеет отношения к такого рода внутренним особенностям понятий. В частности, она никак не связана и с различением конечного и бесконечного, сколь бы важным оно не являлось для понимания математики как науки.

Идея проверяемости у Брауэра имеет очевидную связь с критикой метафизики в позитивистской философии науки. «Мы будем мыслить строго, если устраним метафизические доводы из наших рассуждений и будем принимать только те положения, которые проверяемы в опыте» — таков методологический тезис позитивизма и он, в определенном смысле, переносится Брауэром на математику56.

Позитивистская идея научной строгости состоит в том, чтобы избавиться от такого рода допущений и обосновать научное знание вплоть до самых высших его принципов только в рамках эмпирической проверки. Несостоятельность этой идеи в настоящее время очевидна. Последней основой нашего знания является не чувственный опыт и основанная на нем система проверок, как это думали позитивисты, а система категориальных интуиций, в которых происходит упорядочение опыта, и которые сами по себе не зависят от опыта и не проверяются им. Логика — часть этой высшей структуры мышления, ее утверждения метафизичны в полном смысле этого слова, ибо они ье взяты из опыта и не поддаются опытной корректировке, и вместе тем они являются необходимой структурой мышления, основой строгости и всякой возможной проверки. Математическая интуиция произ- водна от категориальной (метафизической) интуиции, математическая строгость основана в конечном итоге на метафизической строгости, на безусловной интуитивной ясности категорий пространства, времени, части и целого, порядка и т. п. Мы должны понять тот простой факт, что наиболее строгая часть человеческого мышления в принципе непроверяема, ибо она как последняя система координат лежит в основе всякой проверки и всякого строгого мышления. Брауэр прав в том, что опираясь на закон исключенного третьего, мы входим в область метафизических (принципиально непроверяемых) утверждений, но он заблуждается, считая такой выход связанным с потерей строгости и определенности мышления. В действительности, выход к метафизике в форме аподиктически очевидных принципов логики является выходом к априорной системе координат, к необходимым и наиболее надежным условиям понятийного мышления вообще, и, таким образом, к наивысшей возможной строгости. Закон исключенного третьего является неотъемлемой частью этой априорной нормативной сетки, и классическая математика, принимая этот закон, нигде не отступает от уровня предельной строгости.

Предпосылка всеведения, которая связана с законом исключенного третьего, представляет собой в действительности не что иное, как идеальное допущение о реальности, обусловленное практической ориентацией мышления. Бог Вейля, обозревающий весь мир и знающий истинное положение дел как в конечных, так и в бесконечных последовательностях, — не мистика, которую надо устранить из науки ради ее строгости, но необходимая предпосылка мыслящего субъекта, нацеленного на истину и действие. Хотя человеческий опыт ограничен, логика теоретического мышления исходит из предпосылки абсолютной истинности, имеет идеальный и телеологический характер и в этом смысле не может отличаться от логики Бога. Она отражает не фактические возможности человека, а минимальные требования к реальности, относительно которой имеет смысл задача рационального познания. Идея проверки законов логики должна быть, таким образом, оставлена как несостоятельная, проистекающая из прямолинейного эмпиризма, типичного для методологического мышления прошлого века.

Мы должны, таким образом, заключить, что вся философия, лежащая в основе брауэровсхой критики классической логики, является ошибочной. Мы не можеїм согласиться сегодня ни с тезисом о зависимости логических норм от содержания мышления, ни с требованием их проверки, ни с положением о первичности математики перед логикой. Расхождения в понимании логики существуют и в настоящее время. Но брауэровский релятивизм не может рассматриваться сегодня даже в качестве слабой альтернативы, ибо у нас нет ни малейших оснований думать о логических принципах как производных от каких-либо частных представлений. По самой своей сути нормы логики абсолютно универсальны и не зависят от материала мышления. Логика конечного и логика бесконечного не могут отличаться друг от друга. ЕВ обоих случаях мы имеем дело только с системами понятий, претендующими на рациональность, и обе системы в одинаковой степени подчинены общим принципам рациональности, которые заданы целью мышяения. Математик может утверждать, что каждое множество либо конечно, либо бесконечно, ничуть не с меньшим правом, чем он утверждает тот факт, что каждое число либо четно, либо нечетно. Исходная ошмбка Брауэра состояла в том, что он принял за условное и изменчивое т©„ что в действительности является безусловным и внеисторическим.

Надо сказать, что у Брауэра нет философии логики в полном смысле этого слова, ибо нет систематической защиты основных тезисов и рассмотрения необходимого для этого круга идей. Здесь мы имеем дело скорее с некоторой достаточно произвольной гипотезой ad hoc, которая казалась ему соответствующей общему замыслу конструктивной перестройки математики. Тем более удивительным является тот факт, что изобретенный им миф о ненадежности закона исключенного третьего до сих пор имеет большое число сторонников и оказывает влияние на практику математического мышления.

Методологическая реабилитация закона исключенного третьего, конечно, не ведет к упразднению или ограничению интуиционистской математики. Математическая теория, из каких бы мотивов она не выросла, будет существовать, пока существуют внешние и внутренние запросы к ней. Интуиционистская математика продуктивна в этом отношении и, таким образом, будет оставаться существенной частью современной математики. Но современная философия математики должна устранить претензии интиционизма на построение единственно истинной и единственно строгой математики.