Литература и примечания

See: Husserl Е. The Origin of Geometry // In: Husserl E. The Crisis of European Sciences and Transcendental Phenomenology. Northwestern University Press, Evanston, 1970 P.

Grassmann H. Die Ausdehnunglehre. Gesammelte Mathematische und Physicalische Werke, Band 1, Theil 1, Leipzig, 1894. S. 22. 3.

См.: Гильберт Д. Избранные труды. Т. 1. М., 1998. С. 461-462. 4.

Кант И. Критика чистого разума. Т. 3. М., 1964. С. 84.

Часть первая 1.

Декарт Р. Правила для руководства ума // Декарт Р. Сочинения в 2-х томах. Т. 1, М., 1989. С. 79. 2.

См.: Постников М.М. Теорема Ферма. М.: Наука, 1982. С. 11-12. 3.

Сфера концептуальной наглядности существенно зависит от образов, принятых в культуре и технике эпохи. В настоящее время возможности внутренней наглядности в математике существенно раздвигаются на основе компьютерной графики. См.: А.А. Зенкин. Когнитивная компьютерная графика и теория чисел. М., 1991. 4.

См.: Больцано Б. Чисто аналитическое доказательство теоремы, что между любыми двумя значениями, дающими результаты противоположного знака, лежит по меньшей мере один действительный корень уравнения //В кн.: Э. Кольман. Б. Больцано. М., 1975. С. 171-172. 5.

См.: Brouwer L.E.J. Intuitionism and formalism // In: Brouwer L.E.J. Collected works. Vol. 1. Amsterdam, 1975. P. 125. 6.

См., к примеру: Хан Г Кризис интуиции в математике //В кн.: Математики о математике. М.т 1972. С. 38-52. 7.

Вывод формул, относящихся к примеру, см.: Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. З, М., 1969. С. 248-251. 8.

См.: Frege G. Posthumous Writings. The University Chicago Press. 1979. PP. 273-279. 9.

Кант И. Критика чистого разума. Т. 3. С. 184. 10.

См.: Рассел Б. О новейших исследованиях в основаниях математики // Сб. Новые идеи в математике. Сб. 1. Спб., 1913. 11.

Ф.Ф Линде в предисловии к переводу книги Л.

нуждается в аксиоме «Р. есть частное значение функции F», где Р — исходная математическая формула, F — применимое к ней логическое правило. (См.: Кутюра Л. Философские принципы математики. СПб., 1913. С. VI.) Очевидно, что интуиция подведения под правило имеет место в любом выводе в соответствии с правилом. 12.

Н.М. Нагорный полагает, что компьютерные доказательства, не допускающие записи в виде текста и традиционной проверки, могут быть эвристически полезными, но ни при каких обстоятельствах не могут претендовать на окончательное решение проблемы. Относительно доказательства теоремы о четырех красках, которое было предложено Аппелем и Хакеном, Нагорный пишет: «Для меня лично из работы Апеля и Хакена вытекает только то, что... я теперь буду считать малоперспективным поиск контрпримеров к теореме четырех красок. Но решения проблемы, так как я его понимаю, у авторов нет. И на этом пути, как мне кажется, его и не может быть. Следует, может быть, добавить, что повторный счет может только повысить нашу уверенность, но в принципиальном отношении он не дает ничего нового». (Цитируется по: Кудрявцев Л.Д. Современная математика и ее преподавание. М.: Наука, 1985. С. 103-104.) Как мы видим, Нагорный убежден, что повторение проверок не может перевести доказательство из класса вероятных в класс абсолютно надежных. Есть основания думать, что это рассуждение, будучи верным для независимых событий, не проходит для процесса подтверждения математических истин, которое имеет системой характер. В математическом рассуждении мы постоянно переводим относительное в абсолютное посредством конечного (хотя и неопределенного) числа проверок. 13.

Кант И. Критика чистого разума. Соч. в шести томах. Т. З, М., 1964. С. 106. 14.

Лейбниц Г.В. Сочинения в четырех томах. Т. 2. М., 1989. С. 54. 15.

Фреге Г. Основоположения арифметики. М., 2000, С. 44-45. Понимание идеальных образов как самостоятельно существующих и первичных перед их предметной реализацией было естественным для древних и средневековых философов.

Гуссерль, однако, отождествляет универсальную онтологию с указанными математическими теориями. Математика есть для него и универсальная онтология, относящаяся к предметности вообще. (См.: Гуссерль Э. Идеи к чистой феноменологии и феноменологической философии. Раздел 1, параграфы 8-10.) Такое понимание смешивает принципиально различные мысленные структуры. С праксеологической точки зрения необходимо разделить онтологию на систему идеализаций, связанных с познавательной деятельностью вообще, и формальные структуры, базирующиеся на онтологических представлениях. Арифметика — не онтология и не часть он тологии, а формальная система, основанная на идеализациях, относящихся к онтологии. 17.

См.: Кутюра Л. Кантовская философия математики // В кн. Философские принципы математики. СПб., 1913. С. 216-223. 18.

См.: Russell В. Essays on the Foundation of Geometry. Cambridge, 1897.

Натуралистическое понимание математики как системы абстрактных структур, отражающих реальность, несомненно, фиксирует в себе определенную истину, которая подтверждается самим фактом приложимости математических теорий к описанию реальности. Этот момент подчеркивался в философии диалектического материализма (см.: Энгельс Ф. Диалектика природы, гл. 5; Рузавин Г.И. О природе математического мышления. М., 1968 и др.). В настоящее время эта идея находит выражение в понимании математических теорий как идеальных форм («образцов») реальности. (См.: Michel Resnik. Mathematics as a Science of Patterns. Oxford: Oxford University Press, 1997.) С праксеологической точки зрения такая трактовка математики является односторонней: она упускает из виду внеэмпирический характер ее первичных представлений. 20.

См.: Лейбниц Г.В. Сочинения в 4-х томах. Т. 3. М., 1984. С. 496. 21.

Относительно закона действия и противодействия Кант говорит: «Ньютон не решался доказать его a priori, а потому ссылался на опыт». См.: Кант И. Соч. Т. 6. М., 1966. С. 157. Попытки защитить априорный характер принципов механики предпринимаются и в настоящее время. (См.: Грязнов А.Ю. Методология физики и априоризм Канта // Вопросы философии. 2000. № 8). С деятельностной точки зрения эти попытки являются необоснованными, ибо целевая установка мышления и зависимая от нее система априорных категорий сами по себе не предопределяют свойств механического движения или каких-либо иных свойств реальности. 22.

См.: Кутюра Л. Кантова философия математики //В кн.: Кутюра Л. Философские принципы математики. С. 111. 23.

См.: Гуссерль Э. Логические исследования. Т. 1. Пролегомены к чистой логике. СПб., 1909. С. 101. 24.

Гуссерль убежден, что возникновению геометрии как учения о чистых формах предшествовала «грубая» геометрия (протогеометрия), основанная на искусстве измерения.

См.. Yehuda Rav. Philosophical Problems of Mathematics in the Light of Evolutionary Epistemology // Philosophlca. 1989. Vol. 43, № 1. 26.

П. Бернайс в своей статье «О платонизме в математике» (1935) делает важное различение между методологическим (математическим) реализмом как установкой работающих математиков на приемлемость абстрактных математических объектов, связанных с актуальной бесконечностью, и метафизическим реализмом как доктриной об обусловленности математических определений некоторой реальностью. (Bernays P. On Platonism in Mathematics // In: Philosophy of Mathematics. Selected readings. P. Benacerraf and H. Putnam (ed.). Cambridge University Press, 1964. P. 101.) По его мнению, метафизический реализм не имеет прямого отношения к работе математика и к проблемам обоснования математики. Действительное положение, однако, существенно иное. Оно состоит в том, что только прояснение вопросов, связанных с метафизическим реализмом, позволяет нам оправдать математический реализм в качестве приемлемой методологии математики и логики ее обоснования. 27.

Godel К. Russells mathematical logic // In: Pears D.F. (ed). Bertrand Russell Collection of critical essays. New York, 1972. 28.

Godel K. What is Cantor's continuum problem? // In: Philosophy of mathematics. Selected readings. New York, 1964. 29.

Штейнгауз Г. О математической строгости // В кн.: Задачи и размышления. М., 1974. 30.

Лакатос И. Доказательства и опровержения.

Там же, с. 80. 32.

Поппер К.Р. Логика научного исследования // В кн.: Поппер К.Р. Логика и рост научного знания, М., 1983. С. 111. 33.

Kitcher Ph. The Nature of Mathematical Knowledge. New York, Oxford, 1984. P. 50-53. 34.

Ibid., p. 64. 35.

Ibid., p. 55-56. 36.

Мы, очевидно, рассуждаем здесь в духе эйдологии Гуссерля, которая предполагает, что вместе с конкретным образом предмета, мы имеем и его универсалию, которая является истинным предметом рассмотрения. Для исходных математических теорий, связанных с онтологической очевидностью, это действительно так: говоря о треугольнике, мы имеем ввиду не

конкретный треугольник, нарисованный на доске, а треугольник вообще, полученный на основе сущностной вариации. Наши теоремы истинны для всех треугольников по той причине, что наша мысль движется только в предположениях, выдерживающих вариации, совместимые с сущностью треугольника. Однако, стремление Гуссерля найти здесь путь к постижению родовых истин вообще, не является оправданным. Нетрудно видеть, что "схватывание сущности" на основе конкретного восприятия становится возможным в математике вследствие того, что простые математические объекты задаются конечным числом параметров и границы изменения этих параметров заданы с аподиктической очевидностью. Ни одно из этих условий не имеет места за пределами математики. 37.

Kitcher Ph. The Nature of Mathematical Knowledge. P. 51-52. 38.

Devis P.J. Fidelity in mathematical discourse. Is one and one really two? // American Mathematical Montly. 1972. Vol. 79, № 3. P. 258. 39.

Ibid., p. 259. 40.

Успенский B.A. Семь размышлений на темы философии математики // В кн.: Закономерности развития современной математики. М.: Наука, 1987. С. 137-151. 41.

Там же, с. 151. 42.

См.: Розов М.А. Способ бытия математических объектов // В кн.: Методологические проблемы развития и применения математики. М , 1985. С. 24-25.

Часть вторая 1.

Аристотель. Сочинения в четырех томах. Т. 1. М., 1976. С. 125. 2.

Там же. 3.

Там же, с. 133. 4.

Беседы Эпиктета. М.: Ладомир, 1997. С. 138. 5.

Там же, с. 135. 6.

Кант И. Логика. Пг., 1915. С. 1-7. 7.

Кант И. Сочинения в шести томах. Т. 3. М., 1964. С. 174. 8.

Спенсер Г. Основания психологии. Т. 2. М., 1898. С. 157. 9.

Там же, с. 254. 10.

Там же, с. 262. 11.

Милль Дж.Ст. Система логики силлогистической и индуктивной. М., 1914. С. 250. 12.

Там же. 13.

Гуссерль Э. Логические исследования. Т. 1. Пролегомены к чистой логике. СПб., 1909. С. 83. 14.

Там же, с. lpl. 15.

Гуссерль Э. Логические исследования. С. 120. 16.

Там же, с. 122. 17.

Там же, с. 173. 18.

Там же. с. 53. 19.

Гуссерль Э. Идеи к чистой феноменологии и феноменологической философии. М., 1999. Разд. 1. 20.

Husserl Е. Urteil und Erfarung. Zur Genealogie der Logik. Stutgart, 1939. S. 93-98. 21.

Пиаже Ж. Структуры операциональные и структуры математические //В кн.: Преподавание математики. М., 1960. С. 30. 22.

Пиаже Ж. Избранные психологические труды. М., 1969. С. 579. 23.

Там же, с. 86. 24.

Там же, с. 205. 25.

Там же, с. 89. 26.

Quine W.V. Philosophy of Logic. N.Y., 1970. P. xi. 27.

Ibid., p. 60. 28.

Ibid., p. 86. 29.

Аристотель. Метафизика. С. 212. 30.

Эти общие соображения позволяют в определенной степени оправдать общую идею информативности логических норм, которая намечается в ряде работ. (См.: Войшвилло Е.К. Логическое следование, возможные миры и вопрос об информативности законов логики //В кн.: Современная логика и методология науки. М., 1987. С. 19-32.) Во всяком случае ясно, что аналитичность логики не тождественна ее чистой тавтологично- сти и бессодержательности. 31.

Frege G. Grundgesetze der Arithmetik. Jena, 1893. Bd. 1. S. XVI. 32.

Reichenbach H. Philosophical foundations of guantum mechanics. Berkley and Los Angeles, 1946. 33.

Куайн исключает из логики исчисления, использующие предикаты от предикатов на том основании, что предикат, выступающий в качестве аргумента, предполагает понятие множества, а следовательно, и теорию множеств (см.: Quine W.V. Philosophy of Logic. N.Y., 1970. P. 66). Наша аргументация, очевидно, другого рода: она исходит из того положения, что логическая истинность не может существовать вне онтологической истинности и самоочевидности. 34.

Quine W.V. Philosophy of Logic. P. 91. При таком подходе реальная логика отождествляется с эементарными логическими исчислениями. 35.

Кутюра Л. Алгебра логики. Одесса, 1909, С. 102. 36.

Schlick М. General Theory of Knowledge. Wien, New York, 1976. P. 107. 37.

Войшвилло Е.К. Философско-методологические проблемы релевантной логики. М., 1988. 38.

Гильберт Д. Логические основания математики //В кн.: Гильберт Д. Избранные труды. Т. 1. С. 418. 39.

Quine W.V. Philosophy of Logic. Ch. 5. 40.

См.: Теория категорий. M., 1994. С. 111. 41.

Гильберт Д. Избранные труды. Т. 1. М., 1998. С. 400. 42.

Brouwer L. On the Foundations of Mathematics // In: Brouwer L.E.J. Collected Works. Vol. 1. Philosophy and Foundations of Mathematics, Amsterdam-Oxford, 1975. P. 92. 43.

Brouwer L. Points and Spaces // Collected Works. Vol. 1. P. 523. 44.

Названия аргументов, используемые здесь, также достаточно условны, хотя, конечно, они связаны с их содержанием. 45.

Brouwer L. The Unreliability of the logical Principles // Collected Works. Vol. 1. P. 109. 46.

См.: Brouwer L. Intuitionistische Zerlegung mathematische Grundbegrif- fen // Collected Works. Vol. 1. P. 276. 47.

Brouwer L. The Unreliability of the logical Principles. P. 108. 48.

Brouwer L. The Unreliability of the logical Principles. P. 109. Брауэр указывает здесь на Гильберта, который неоднократно выдвигал в качестве аксиомы математического мышления положение, что каждая математическая задача разрешима в положительном или отрицательном смысле. 49.

Brouwer L. Uber die Bedeutung des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten in der Mathematik, inbesondere in der Funkzionentheorie. S. 270. 50.

Brouwer L. The unreliability of the logical Principles. P. 110. 51.

Brouwer L. The Effect of Intuitionism on classical Algebra of Logic // Collected Works. Vol. 1. P. 552. 52.

Вейль Г. Полвека математики. М., 1969. С. 44. 53.

Brouwer L. On the Foundations of Mathematics. P. 74. 54.

Brouwer L. Historical Background Principles and Methods of Intuitionism // Collected Works. Vol. 1. P. 510-511. 55.

Bernays P. On Platonism in Mathematics. P. 265. 56.

А. Гейтинг пишет: «Если слово «существовать» не означает «быть построенным», то оно должно иметь какой-то метафизический смысл» (Гейтинг А. Интуиционизм. Введение. С. 10). В соответствии с этой установкой, математика — не опытная наука и не метафизика, а наука о возможностях строгого мысленного конструирования. 57.

Поппер К. Логика и рост научного знания. С. 175. 58.

Бунге М. Интуиция и наука. М., 1967. С. 50-51. 59.

Putnam Н. Mathematics without foundations // In: Philosophy of mathematics. Selected readings. New York, 1984. P. 302. 60.

Марков А.А. О логике конструктивной математики // Вестник Московского ун-та. Серия 1. 1970. № 2. С. 13. 61.

См.: Витгенштейн Л. Замечания по основаниям математики. С. 108- 110. 62.

Зиновьев А.А. Логическая физика. М., 1972. С. 8.

Часть третья

1. См: Лобачевский Н.И. Полн. собр. соч. Т. 1. М.-Л., 1946. С. 261. Здесь необходимо самым решительным образом возразить против устоявшегося мнения, согласно которому Лобачевский, разработав свою геометрию в достаточно большом объеме, не доказал ее логической правомерности. (См., к примеру: Александров А.Д. Основания геометрии. М., 1987. С. 262.)

Погружение неэвклидовой планиметрии в геометрию сферы, осуществленное Лобачевским, конечно, доказывает ее непротиворечивость ничуть не в меньшей степени, чем прямая интерпретация ее отношений на псевдосфере, осуществленная позднее Е. Бельтрами. 2.

См : Гильберт Д. Основания геометрии. М. 1948. Гл. 2, § 9. 3.

Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Т. 2. Теория доказательств. М., 1982. С. 13. 4.

Александров А.Д. Математика и диалектика // В кн.: Проблемы науки и позиция ученого. М., 1988. С. 58. 5.

Б. Рассел считал, что идея величины бесполезна для чистой математики и даже чужда ей, поскольку ее нельзя определить без какого-либо обращения к интуиции. См.: Russell В. The principles of Mathematics. V. 1. Cambridge University Press, 1903. Ch. 21. 6.

Аристотель. Сочинения. Т. 1. M., 1976. С. 54. Этот аристотелевский тезис оказался самым устойчивым предрассудком в философии математики, влияющим на ее методологию и в настоящее время. 7.

Brouwer L. Uber die Bedeutung des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten in der Mathematik, inbesondere in der Funkzionentheorie. S. 270. 8.

См.: Godel K. Zur intuitionistischen Arithmetik und Zahlentheorie, Ergeb- nisse eines mathematischen Kolloquiums. Heft 4. 1932. S. 12-13. 9.

Frege G. On the Foundation of Geometry // The Philosophical Review. 1960. Vol. XIX. P. 15-17. 10.

Это определение, очевидно, содержит в себе круг, поскольку мы определяем га-е число через класс эквивалентных классов га-го порядка. Но мы разрываем этот круг, определяя в логических понятиях арифметический нуль и понятие последующего числа. См.: Фреге Г. ОсновопбМожения арифметики С. 21-25. 11.

См.: Фреге Г. Запись в понятиях, § 24, а также «Основоположения арифметики», § 81. 12.

Теория типов не сводится к этому общему правилу. Простой анализ показывает, что полное его проведение невозможно, поскольку, оно устраняет из математики слишком много, в частности, все непредикативные определения. Полная теория типов предусматривает разумные отступления назад и теоретическое оправдание этих отступлений. Можно сказать, что Рассел только заложил основу теории формальных определений, которая остается мало разработанной и в настоящее время. 13.

Whitehead A, Russell В. Principia Mathematica. V. 3. Cambridge, 1929. P. 234. См. также: Рассел Б. Введение в математическую философию. М.: Гнозис, 1998. Гл. 13. 14.

Аксиома сводимости, устанавливающая связь между различными порядками множеств в расширенной теории типов была впоследствии признана излишней с точки зрения устранимости парадоксов. Обсуждение этого момента, см.: Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М., 1967. Гл. 3. 15.

Фреге и Рассел считали, что натуральный ряд должен начинаться с нуля. (См.: Рассел Б. Введение в математическую философию. С. 13.) Для логицистской трактовки арифметики это важно, ибо пустое множество является наиболее подходящим объектом в качестве исходного элемента для построения логического коррелята натурального ряда. Онтологически осмысленный натуральный ряд, однако, должен начинаться с единицы, ибо нуль в этом случае — фикция, имеющая чисто операциональное значение. Это последнее понимание мы видим у Брауэра и Вейля. Нетрудно видеть, что за этим, на первый взгляд, мелочным спором (см. также: Успенский В.А. Цит. соч. С. 110) стоит вопрос о статусе понятия числа, а именно, о возможности его адекватного определения в теоретико-множественных понятиях. Арифметика, конечно, может быть обоснована независимо от теории множеств как теория, имеющая особое интуитивное основание, базирующееся на идее следования, а не на идее чистого количества, являющейся основой теории множеств. В этом случае мы должны принять интуицию, содержащуюся в понятии «следовать за» как исходную и считать истинным началом натурального ряда единицу как представление, определяющее процесс бесконечной итерации. 16.

Кант И. Критика чистого разума // Кант И. Соч. в шести томах. Т. 3. М., 1964. С. 472. 17.

Это обстоятельство в определенной мере осознавалось и раньше. Л. Эйлер писал: «Даже если отрицать, что во Вселенной действительно существует бесконечное число, то все же в математических исследованиях часто встречаются вопросы, на которые нельзя ответить, если не допустить бесконечного числа» (Эйлер Л. Дифференциальное исчисление. Т. 1. М.- Л., 1949. С. 90). Эта точка зрения, высказанная в XVIII веке, является более близкой к истине, чем натуралистическая позиция Рассела, поскольку она допускает возможность признания математической бесконечности вне зависимости от ее реализации в опыте. Ясно, что натурализм Рассела, проведенный последовательно, упраздняет проблему обоснования математики. 18.

Это простое положение не является вполне осознанным в методологии математики. П.К. Рашевский высказывал мнение, что методологические трудности современной математики во многом связаны с абсолютизацией представления о единственности и абсолютности натурального ряда чисел. (См : Рашевский П.К. О догмате натурального ряда // Успехи мат. наук. 1973. Т. 28, вып. 4 (172). С. 243-246). С онтологической точки зрения эта идея, конечно, неприемлема. Общезначимость, предельная ясность и историческая стабильность принципов, определяющих понятие числа, обусловлена его принадлежностью к категориальной форме мышления и не может быть изменена по нашему желанию. Современные методологические трудности в основаниях математики проистекают не из догматизма, а напротив, — из безбрежного релятивизма, который пытается опровергнуть то, что в принципе не подлежит опровержению. 19.

Пуанкаре писал в «Науке и методе»: «Нет актуальной бесконечности. Канторианцы забыли это и впали в противоречие» (Пуанкаре А. Наука о науке. М., 1983. С. 400). 20.

Кантор Г. К учению о трансфинитном // В кн.: Кантор Г. Труды по теории множеств. М., 1985. С. 297. 21.

Гильберт Д. Избранные труды. Т. 1. С. 459. 22.

Гёдель К. Расселовская математическая логика //В кн.: Рассел Б. Введение в математическую философию. С. 230. 23.

На это обстоятельство указывал Д. Гильберт: «Цермело, — писал он, — введя подходящую аксиому, ограничил произвол в определениях множеств, ...сузил круг допустимых утверждений об элементах множеств... и построил теорию таким образом, что, несмотря на эти ограничения, она не потеряла своей ценности» (Избранные труды. Т. 1. С. 414). 24.

Речь идет здесь, очевидно, об оправдании правила бесконечной индукции, согласно которому из выводимости формул /(0), /(1), /(2) и т. д. мы заключаем о выводимости общего утверждения вида Vz f(x) при любом объеме области определения. Из предполагаемой выполнимости операции выбора для каждого множества в отдельности, конечно, следует ее выполнимость для всей совокупности множеств, какой бы не была эта совокупность. Собственно философский довод может состоять здесь в том, что в сфере идеальной предметности мы вправе устранить все ограничения, проистекающие из эмпирической основы мышления. Иначе говоря, тип бесконечности не имеет значения для полной проверки множества, если таковая допускается для любого его элемента. 25.

Whitehead A, Russell В. Principia Mathematica. V. 3. Cambridge, 1929. P. V. 26.

Hao Wang. The concept of set // In: Philosophy of mathematics. Selected readings. New York, 1964. P. 536. 27.

Сравнение возможностей различных аксиоматик теории множеств см.: Ван Хао, Мак Нотон. Аксиоматические системы теории множеств. М., 1965. 28.

См.: Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М., 1969. Гл. 3. 29.

Принцип совместности, сформулированный выше как утверждение об абсолютной непротиворечивости системы аксиом, состоящей только из логически и онтологически истинных утверждений, можно, по-видимому, расширить через включение аналитически истинных аксиом. Мы исходим здесь из того факта, что фундаментальное математическое понятие имеет «эйдос», смысловое ядро, не меняющееся в любых контекстах его использования. Аксиомы, выражающие эти «неотъемлемые» свойства математического объекта, могут считаться аналитически истинными, раскрывающими смысл понятия, несомненно совместимыми друг с другом, а следовательно, — и с реальной логикой. Г. Булос считает, что аксиома объемности — чисто аналитическое утверждение, проистекающим из смысла, содержащихся в ней терминов (см.: Boolos G. The iterative conception of set // In: Philosophy of Mathematics. Selected readings. N.Y., 1984. P. 101). Это обстоятельство важно для использования принципа совместности за пределами логицистской системы. 30.

Brouwer L. The unreliability of the logical Principles. P. 110. 31.

Brouwer L. Intuitionism and Formalism. P. 90-92. 32. См.: Гейтинг А. Интуиционизм. Гл. 8. 33.

В своей концепции математики Брауэр исходил из философии Канта, называя ее традиционным интуиционизмом. Так как под традиционным интуиционизмом мы понимаем сейчас философию Брауэра, то философию математики Канта лучше всего называть кантовским интуиционизмом. 34.

См.: Вейль Г. Математическое мышление. М., 1989. С. 80-81. 35.

См.: Минц Е.Г. [Комментарии] // В кн.: Вейль Г. Математическое мышление. С. 120. 36.

Gauss C.F. Werke. Bd. 8. Leipzig, 1900. S. 120. 37.

См.: Кузичев А.С. Диаграммы Венна. М., 1976. 38.

Frege G. Posthumous writings. Chicago University Press, 1974. P. 221-224. 39.

Frege G. Ibid., p. 220. 40.

Brouwer L. Intuitionism and Formalism. P. 98. 41.

Гастев Ю.А. Обоснование анализа на аксиомах прямой линии. В кн.: Исследование логических систем. М., 1970. 42.

Вейль Г. Математическое мышление. С. 83. 43.

См. Новиков П.С. О непротиворечивости некоторых логических исчислений. В кн.: Новиков П.С. Избранные труды. М., 1979. С. 130-157. 44.

Гильберт Д. Избранные труды. Т. 1. М., 1998. С. 101. 45.

Там же, с. 442. 46.

Там же, с. 448. 47.

Там же, с. 447. 48.

См.: Крайзель Г. Исследования по теории доказательств. М., 1981. С. 9. 49.

Карно Л. Размышления о метафизике бесконечно малых. М.-Л., 1933. С. 219. 50.

Лобачевский Н.И. Полное собрание сочинений. Т. 1. М., 1946. С. 261. 51.

Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Т. 1. М., 1982. С. 19. 52.

Гильберт Д. Избранные труды. Т. 1. С. 419-420. 53.

Там же, с. 101. 54.

Там же, с. 437-438. 55.

См.: Feferman S. Arithmetisation of mathematics in general setting // Foundations of Mathematics. 1960. Vol. 49. См. также: Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М., 1972. Гл. 3. 56.

Есенин-Вольпин А.С. Анализ потенциальной осуществимости // В кн.: Логические исследования. Сборник статей. М., 1959. С. 218-262. 57.

См.: Кузичев А.С. Теорема о непротиворечивости системы ZF Церме- ло-Френкеля // ДАН. 1983, Т. 173, № 5. С. 1053-1057, а также: Кузичев А.С., Кузичева З.А. Системы с бесконечной логикой и неограниченным принципом свертывания. К 150-летию со дня рождения Г. Кантора //В кн.: Бесконечность в математике. Философские и методологические аспекты. М., 1997. 58.

Ершов Ю.Л., Самохвалов К.Ф. О новом подходе к методологии математики // В кн.: Закономерности развития современной математики. М., 1987. С. 85-105.

59. См.: Shaughan Lavine. Understanding the Infinite Harvard Univ. press. 1994. Ch. IX.

,6.0. Гильберт Д. Избранные труды. Т. 1. С. 439. 61.

Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М., 1972. С. 108. 62.

Крайзель Г. Исследования по теории доказательств. М., 1981. С. 65. 63.

См.: Новиков П.С. Элементы математической логики. М., 1969. Гл. 5. 64.

См.: Нагорный Н.М. К вопросу о непротиворечивости классической формальной арифметики. М.: Вычислительный центр РАН, 1995. 65.

См.: Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М., 1967. Гл. 5. 66.

Godel К. Russells mathematical logic // In: Pears D.F. (ed). Bertrand Russell Collection of critical essays. New York, 1972. Гёдель К. Расселов- ская математическая логика // В кн.: Рассел Б. Введение в математическую философию. М , 1996. 67.

Godel К. What is Cantor's continuum problem? // In: Philosophy of mathematics. Selected readings. New York, 1964. 68.

Ibid., P. 128. 69.

Основной аргумент философов, возражающих против реалистической интерпретации математических понятий, состоит в том, что эта интерпретация в лучшем случае бесполезна, поскольку она не дает нам никакого доступа к предполагаемым сущностям вне их определения в математическом языке. (См., к примеру: Parsons Ch. Ontology and Mathematics // Philosophical Review. 1971. Vol. LXXX. P. 101.) Конечно, это не так. Мы не могли бы оправдать закон исключенного третьего или аксиому бесконечности без прояснения онтологической основы этих принципов. В действительности, нам нужен не доступ к математической реальности, а лишь умение обосновать причастность к этой реальности тех или иных типов математических суждений. Эта последняя задача в ряде случаев разрешима.

70 Лакатос И. Бесконечный регресс и обоснования математики //В кн.: Современная философия науки. М., 1996. С. 111. 71.

See: Lakatos I. A renaissanse of empiricism in the recent philosophy of mathematics // Brit, yourn. for the philos. of sci. 1976. Vol. 27, № 3. P. 202. 72.

Колмогоров A.H., Драгалин A.H. Введение в математическую логику. Дополнительные главы. М., 1982. С. 117-118.

72а. Аксиома непрерывности дана у Дедекинда в следующей формулировке. «Если система вещественных чисел распадается на два класса такого рода, что каждое число одного класса меньше каждого числа другого класса, то существует одно и только одно вещественное число, посредством которого это разделение производится» (Дедекинд Р. Непрерывность и иррациональные числа. Одесса, 1911. С. 20). Идея этой аксиомы проистекает из того допущения, что каждой точке прямой линии соответствует одно и только одно число. 73.

В настоящее время достигнуты значительные успехи в чисто логическом обосновании анализа, в частности, получено обоснование элементарного анализа на основе консервативного расширения арифметики (см.:

Крайзель Г. Исследования по теории доказательств. С. 88-101). Признание этих результатов в качестве абсолютного обоснования математического анализа наталкивается, однако, на те же трудности, что и признание надежности имеющихся доказательств непротиворечивости арифметики: некоторые, не вполне элементарные средства должны быть приняты на веру или оправданы на основе содержательных соображений. Эти трудности могут быть преодолены только на основе прояснения онтологической основы математического мышления. 74.

Нао Wang. The concept of set // In: Philosophy of mathematics. Selected readings. New York, 1964. P. 536. 75.

Ibid., p. 540.

Часть четвертая 1.

Это положение, конечно, неприемлемо в рамках индуктивной методологии и требует особого рассмотрения. Мы можем пока принять его как констатацию того факта, что в истинности суждения а+ 6 = Ь-\-а мы сомневаемся столь же мало, как и в истинности суждения 2 + 1 = 1-1-2. 2.

См : Гильберт Д. Основания геометрии. Петроград, 1923. Примечания к гл. 1 и 2. 3.

Идея недостижимых противоречий была выдвинута А.С. Есениным- Вольпиным в конце 50-х годов с целью обоснования непротиворечивости арифметики и теории множеств. См.: Есенин-Вольпин А.С. Анализ потенциальной осуществимости //В сб.: Логические исследования. М., 1959. 4.

См.: Хинтикка Я Информация, дедукция и a priori //В кн.: Хинтик- ка Я. Логико-эпистемологические исследования. М., 1980. С. 163. 5.

Там же, с. 163. 6.

См.: Эйлер Л. Введение в анализ. М.- Л., 1934. С. 215. 7.

Кант И. Критика чистого разума. С. 222. 8.

Кассирер Э. Познание и действительность. Понятие о субстанции и понятие о функции М., 1912 С. 194. 9.

См.: Юшкевич А.П. К истории спора о колеблющейся струне //В кн.. Юшкевич А.П. Математика и ее история. М., 1996. С. 166-175. 10.

См.: Carnap R. The Logicist Foundations of Mathematics // In: Philosophy of Bertrand Russell Ed. by E.D. Klemke. N.Y., 1972. P. 341-354. 11.

Гёдель К. Расселовская математическая логика. С. 215. 12.

Kitcher Ph. Mathematical naturalism // In: History and Pilosophy of modern mathevatics. Minneapolis University Press, 1987. P. 101. 13.

См.: Гильберт Д. Основания геометрии. М., 1948. С. 349. 14.

Пуанкаре А. О науке. М., 1983. С. 464. 15.

Вейль Г. Математическое мышление. М., 1989. С. 89. 16.

Лузин Н.Н. Лекции об аналитических множествах и их применениях Собр. соч. Т. 2. С. 30 17.

Н.М. Нагорный считает, что теория множеств не определяет должным образом понятие множества и содержит большое число других «дыр»,

которые ставят под сомнение ее статус как приемлемой математической теории. См.: Нагорный Н.М. К работам по основаниям математики // В кн.: Гильберт Д. Избранные труды. С. 564-569. 18.

Бычков С.Н., Шашкин Л.О. К критике канторовской диагональной процедуры доказательства несчетности континуума // В кн.: Традиционная логика и канторовская диагональная процедура. М., 1997. С. 22-29; Петросян В.К. Общий кризис теоретико-множественной математики и пути его преодоления. М., 1997; Зенкин А.А. Ошибка Кантора // Вопросы философии. 2000. № 2. 19.

Это соображение, конечно, не решает вопроса о корректности канто- ровского доказательства, а говорит лишь о неразрушимости сложившейся системы понятий, которую мы называем теорией множеств. Вопрос о корректности рассматриваемого требует специального логического анализа.

Заключение 1.

Карри Х.Б. Основания математической логики. М., 1969. С. 25. 2.

См.: Барабашев А.Г. Регресс кантовского априоризма (Рукопись. Предполагается публикация в книге «Математика и опыт». М., 2002). Факт такого регресса несомненен и он особенно ярко проявился в философии XX века, которая заменила кантовский априоризм, основанный на строгом разделении формы и содержания мышления, некими схемами взаимодействия уровней содержания, различающихся степенью своей стабильности. Биологический априоризм К. Лоренца, лингвистический априоризм Н. Хомско- го, логический априоризм Я. Хинтикки и другие современные априоризмы устраняют из кантовской теории самое главное — идею трансцендентально- сти форм мышления, их строгой генетической и логической независимости от содержания мышления.