4. Механизм ретротрансляции истинности
Историческое становление математической теории может быть представлено как взаимовлияние и взаимокорректировка этих двух уровней математической теории. Трудности в формулировке аксиом являются следствием неопределенности и противоречивости определений в теле теории и устранение этих противоречий является необходимым условием становления адекватной аксиоматики. Первые попытки установления принципов дифференциального исчисления выявили, что в основе принятых алгоритмов этого исчисления лежит до- пущение А + а = А, где величина а является отличной от нуля. Поскольку этот принцип противоречил представлениям о математической строгости, принятым в элементарной математике, то постепенно было выработано новое основание математического анализа, базирующееся на понятии предела и позволяющееся избавиться от такого рода сомнительных допущений. Последовательное развертывание и приложение анализа, основывающееся на понятии предела, выявило, в свою очередь, недостатки в обосновании теорем, признанных ранее доказанными.
Движение аксиоматики к полноте и завершенности — это постоянная проверка теорем через аксиомы (уточнение истинного содержания теории и определенности производных понятий) и проверка аксиом через теоремы, (установление завершенности и совместности системы аксиом). Система аксиом, которая в начале своего формирования могла содержать в себе некоторые некорректности, неизбежно освобождается от них в процессе своего приложения к системе производных объектов.
Здесь необходимо принять во внимание также и тот факт, что любая математическая теория развивается во взаимодействии с другими теориями и, таким образом, в процессе постоянной переинтерпретации своих утверждений в понятиях других теорий. Вновь появившаяся теория может содержать некорректности в определении своих основных понятий, которые устраняются в ее соприкосновении с другими системами понятий. Эйлер, как известно, считал возможным определить операцию умножения мнимых чисел таким образом, что (ai)(6i) = +ab. Большинство математиков не согласилось с этим, но спор был однозначно разрешен только после установления геометрической интерпретации комплексных чисел6. Огромное число примеров свидетельствует о том, что историческое взаимодействие математических теорий является мощным фактором логической гармонизации математического знания и установления окончательной системы исходных определений в каждой из них.В общем плане это обычная диалектика уровней и структур, которая имеет место в любой теоретической системе. Ее особенность в математике состоит в том, что она обеспечивает здесь окончательное (абсолютное) обоснование исходной системы принципов. Здесь, очевидно, работает тот же механизм достижения абсолюта в конечном пространстве возможностей, о котором мы говорили при анализе надежности доказательства. Мы можем утверждать, что завершенная аксиоматика есть одновременно и абсолютно непротиворечивая аксиоматика вследствие объективной логики своего становления.
Скептик может отвергать законность этой идеи, указывая на то обстоятельство, что проверка математической теории на непротиворечи- вость посредством ее приложений всегда имеет относительный характер. Он может сказать, что она относится чаще всего только к некоторому фрагменту теории и что она происходит через ссылку к теории, непротиворечивость которой является проблематичной. Это возражение, однако, является истинным лишь по видимости. В действительности, мы имеем здесь ситуацию, совершенно аналогичную ситуации, связанной с установлением надежности доказательств.
Как и в случае с доказательством, мы вправе предполагать здесь, что конечное число частичных проверок обеспечивает абсолютный результат: сформулированная система аксиом либо отбрасывается как противоречивая, либо принимается как стабильная и абсолютно корректная. Эти ситуации подобны в том, что как в той, так и в другой мы имеем дело в сущности с поиском необходимого варианта в конечном пространстве возможностей. Мы знаем, что такие ситуации, будучи неразрешимыми теоретически (алгоритмически), с полной определенностью разрешаются практически. Коррекция оснований математической теории происходит в конечное время, и мы фиксируем ее завершение по факту стабилизации аксиоматики, по отсутствию существенно иных вариантов, характерных для этапа ее становления. Факт стабилизации системы аксиом имеет общезначимый характер и может рассматриваться в качестве достаточного признака ее непротиворечивости.Особая черта математических аксиом состоит в том, что в процессе своего вызревания они сливаются с фактами, станрвятся логически равнозначными этим фактам и получают возможность быть полностью обоснованными на основе фактов. Принципы опытных теорий всегда содержат в себе гипотетический элемент, они всегда утверждают больше, чем содержится в объясняемых ими фактах и, в силу этого, никогда не могут утверждаться как необходимые для этих фактов и обоснованные на их основе. Связь фактов и принципов в математике такова, что признание фактов однозначно указывает нам на систему принципов, необходимых для их объяснения. Ретротранс- ляция математической истины непосредственно проистекает из этого обстоятельства: аксиомы математической теории — это не гипотезы в общенаучном понимании, а связи, лежащие в определении фактов. Внутренняя диалектика математической теории конечна: она является механизмом ретротрансляции истинности от фактов к принципам и, таким образом, механизмом абсолютного обоснования принципов. Мы можем говорить здесь об идеальной фактуальной истинности принципов, достигших состояния стабильности и признания с точки зрения объяснения фактов.
Прояснение этого момента существенно углубляет наше понимание связи между аксиомами арифметики и частными арифметически- ми утверждениями.
Утверждая, что непротиворечивость аксиом арифметики обусловлена их непосредственной связью с предметной онтологией, мы несколько огрубляем ситуацию, поскольку отношения предметной онтологии фиксируются непосредственно только в сингулярных высказываниях типа 2 + 2 = 4. Очевидно, что арифметическая аксиомы являются уже продуктом некоторого мысленного акта, который остается здесь в тени. Рассматривая эту связь, Гуссерль пришел к понятию эйдетических истин, которые, возникая на основе самоочевидных фактов, являются столь же достоверными, как и сами факты.Несомненно, что утверждение а + 6 = 6 + ане менее истинно, чем каждое из утверждений 2 + 3 = 3 + 2, 5 + 7 = 7 + 5и т.д. Мы имеем здесь неприемлемую для эмпирических теорий симметрию истинности частных и родовых истин, при которой родовые истины не обладают какой-либо относительностью и гипотетичностью по отношению к частным. Мы можем понять эту ситуацию только в плане ретротранс- ляции истинности. Система аксиом арифметики должна быть понята как завершенная математическая теория, соответствующая системе самоочевидных представлений, выраженных в конкретных арифметических высказываниях.
Слабость теорий Гуссерля состоит в том, что она не разъясняет механизма стабилизации принципов. Какие факторы принуждают сознание, прибегающее к фантазии и вариации, останавливаться на определенных теоретических смыслах как абсолютных для данной системы фактов? Концепция Гуссерля не содержит сколько-нибудь удовлетворительного ответа на этот вопрос, который является основным для понимания статуса математических аксиом. В действительности, мы имеем здесь дело лишь с механизмом ретротрансляции истины, обусловленным системностью математической теории. Аксиоматика арифметики — это минимизированная, а следовательно, абсолютная теория для сингулярных истин арифметики, определенных представлениями предметной онтологии. В своей теории эйдетических истин Гуссерль мистифицировал механизм ретротрансляции истины, имеющий место в процессе самообоснования математических теорий.
Методологический анализ дает нам основание утверждать, что любая теория, включенная в центр математики и используемая для развития других теорий, является непротиворечивой в своей основе, независимо от своего содержания и от того, в какой мере это может быть подтверждено строгим логическим анализом. Диалектические аргументы позволяют, таким образом, защищать фактическую непротиворечивость математики, существующую независимо от возможностей ее логического обоснования. Важно отметить, что мы выходим здесь за пределы логики не на основе истинности аксиом или принципов метатеории, а на основе истинности фактов и механизма ретротрансляции истинности. Это более широкое основание для рассуждений о непротиворечивости математического знания, ибо оно в одинаковой мере применимо к любой математической теории.