4. Об определенности критерия стабильности

Мы рассмотрели выше два критерия, определяющие корректность математического рассуждения. Это аподиктическая очевидность шагов доказательства как критерий его завершенности и аподиктическая очевидность аксиом как критерий их логической совместности. Законность первого критерия не вызывает особых возражений. В практике доказательств мы опираемся на схемы умозаключений как непосредственно данные и в большинстве случаев не подвергаем сомнению выводы, полученные при точном следовании этим схемам. Восприятие необходимости всех шагов доказательства служит критерием его полной корректности или завершенности. Этот критерий является простым в том смысле, что самоочевидность доказательства во всех его шагах дана нам как непосредственный и общезначимый факт, который сам по себе не может быть поставлен под сомнение. Теоретическое обоснование этого критерия — это обоснование аподиктической очевидности как необходимого качества первичных математических идеализаций.

Критерий логической совместности аксиом является более трудным для восприятия. В принципе можно представить себе систему самоочевидных истин, которые при более детальном анализе могут оказаться несовместимыми. Такие случаи имели место и в математике: мы можем вспомнить в этой связи открытие Расселом противоречия в арифметике Фреге, которая не содержала никаких предпосылок, не обладающих непосредственной очевидностью. Примеры такого рода, однако, не отвергают законности нашего критерия. Анализ парадокса Рассела показывает, что это не противоречие между принципами арифметики или между логикой и арифметикой, а противоречие между аподиктически очевидными принципами, с одной стороны, и предложенной системой их дедуктивного представления, с другой.

Понимание стабильности аксиоматики в качестве критерия ее непротиворечивости может вызвать затруднение вследствие того, что стабильность в отличие от аподиктической очевидности не дана нам в виде единовременного непреложного факта сознания. Понятие стабильности существенно эмпирично, оно связано с временем, причем с неопределенным временем. Прекращение потока контрпримеров в основных утверждениях теории может быть истолковано и как свидетельство полной корректности ее оснований и как временный перерыв, обусловленный конкретным этапом ее развития. Эта ситуация представляется неразрешимой и сам критерий — принципиально неопределенным.

Такое понимание, однако, было бы поверхностным. Исследуя историческое становление математической теории, мы выяснили, что оно идет за счет расширения внутреннего ядра теории — неразрушимого центра, который представляет собой завершенный «кроссворд» доказательств, неуязвимый для критики при дальнейшем расширении и совершенствований теории. Мы выяснили также, что лишь конечное число теорем, относящихся к этому центру, необходимо для однозначного определения аксиоматики и аксиоматического представления теории в целом. Но это значит, что на определенном уровне развития любая формальная теория неизбежно выделяет аксиоматику, обладающую стабильностью и абсолютной непротиворечивостью.

Скептик здесь заблуждается. При рассмотрении математического доказательства мы выяснили, что проверка законченности доказательства осуществляется не только проверкой самоочевидности всех его шагов, но и его включение в центр теории, в «кроссворд» доказательств. Этсг дополнительный факт, если он имеет место, показывает, что чаше мнение о надежности доказательства уже не содержит в себе ничего субъективного. Аналогичные косвенные свидетельства имеются и для системы аксиом. Становящаяся теория неизбежно входит в связи с другими теориями, погружается в центр математики. Это об- СТОЯТЄЛЬОіГО, если оно имеет место, не оставляет сомнений ВТОМ, что наступившая стабилизация системы аксиом — не временный перерыв в ее движении, не следствие недостатка средств анализа, а следствие сформировавшегося неразрушимого центра теории.

Существуют и многие другие признаки зрелой теории, указывающие на окончательный характер стабилизации. Здесь мы опять приходим к признанию того положения, что проблема, неразрешимая в рамках однозначных теоретических критериев, разрешается практически. Практика показывает, что нормально развивающаяся и функционирующая аксиоматизированная теория может потребовать для своего полного утверждения десять, максимум 20 лет, но никоим образом не период величиной в столетие.

Рассмотрение механизмов стабилизации позволяет заключить, что системный анализ дает нам не только абстрактное теоретическое понимание непротиворечивости математического мышления, но и общезначимые критерии этой непротиворечивости, обладающие полной надежностью.