Оценка программы интуиционизма и конструктивизма
Очевидно, что акцент на интуиции был сделан для введения в математические построения допущения потенциальной бесконечности и исключения возможных парадоксов в основании математики посредством отсечения языка и логики как главных источников, так сказать, по определению.
Но какова цена этого решения?Для интуициониста математическое высказывание в своей сущности не является высказыванием лс^гики и даже языковой конструкцией. Оно порождается не логической, а интуитивной деятельностью интеллекта. Согласно принятой классификации, для интуициониста каждое математическое высказывание синтетическое, так как его содержанием выступает конструируемый объект, и одновременно априорное, потому что представляет результат исключительно умственной деятельности.
Отсюда следует гносеологическая проблема интуиционистского обоснования математики. Истинность математических суждений гарантируется интуитивной самоочевидностью математического построения, оформленного в виде определенного логико-лингвистического отчета. Однако многие аналитики сразу же обратили внимание на то, что не все интуиционистские конструкции, особенно связанные с операцией логического отрицания, являются ин- туитивно самоочевидными137. Например, таким качеством не обладает интуиционистская теорема «квадратный круг не существует». Никакая интуиция не способна даже в воображении выполнить подобное построение, что является обязательным условием вывода из него противоречия, как того требует определение интуиционистского отрицания.
Критерий интуитивной самоочевидности не является очевидным и при применении к другим логическим операциям.
Все они по определению связаны с умственными построениями выполняющих их субъектов. Достаточно допустить существование двух интуиционистов с несовместимыми, но самоочевидными для каждого из них интуициями, как этот критерий теряет свою однозначность и интерсубъективность.Но рассматриваемый критерий не менее проблематичен и тогда, когда интуиции совпадают. Ведь установление факта несовместимости или, наоборот, совместимости двух и более отчетов об интуитивной самоочевидности некоторого построения требует внешнего выражения и подтверждения, т. е. логического анализа. Отношения совместимости и несовместимости различаются в зависимости от логического вида сравниваемых суждений и не могут быть по этой причине только интуитивно очевидными. Следовательно, апелляция к интуиции и исключительно к ней лишает математика возможности эксплицитно сравнивать между собой математические конструкции, устанавливать между ними логические связи и делать свою главную работу — доказывать истинные и опровергать ложные из них. В конце концов А, Гейтинг был вынужден признать, что «понятие интуитивной ясности в математики
ке само не является интуитивно ясным» .
Большой резонанс и сопротивление среди большей части математиков вызвало желание Брауэра и следующих за ним в этом отношении конструктивистов ограничить применение закона исключенного третьего конечной областью объектов. Конструктивисты поддержали Брауэра в этом намерении. Однако реальная проблема не в самом законе, а в интуиционистской интерпретации отрицания общего высказывания. С классической точки зрения, согласно закону противоречия из отрицания общего суждения всегда следует существование частного контрпримера. Причина этого также понятна: альтернативами в этом случае являются существование и несуществование объектов определенного вида.
Теперь сформулируем отрицание общего суждения (х)Ал как интуиционистскую проблему. В этом случае акцент смешается с перечисления альтернатив существования объектов с заданными свойствами на указание общих альтернатив разрешимости проблемы.
Они таковы: положительное решение (с приведением конкретного примера существования (Ех)—\Ах), отрицательное решение (с доказательством, что ни один х не обладает свойством —А) и доказательство отсутствия решения. Сформулировать альтернативы решения согласно закону исключенного третьего. Получим высказывание «проблема отрицания общего суждения либо имеет решение (положительное или отрицательное), либо не имеет его». Интуиционистская интерпретация отрицания общего суждения не обязывает закон исключенного третьего утверждать что-либо напрямую о существовании объектов. Он должен констатировать только, имеет данная интуиционистская проблема решение или нет. Но именно это он и делает. Значит, несмотря на множество тонких замечаний, критика интуиционистами и конструктивистами закона исключенного третьего в общем неправомерна. Ограничения, которые они приписывают этому закону, на самом деле есть следствия интуиционистско-конструктивисте кой интерпретации операции.логического отрицания.С рассматриваемой точки зрения конструктивная интерпретация высказываний существования, о значении которой с гордостью говорят все интуиционисты и конструктивисты, представляет логическое сужение объема обычных утверждений существования. Существование не сводится только к доказательству, или конструированию. Множество доказанных суждений есть собственное подмножество логически допустимых суждений. Логическое, т. е. возможное, существование предшествует всем остальным видам существования. Требовать совпадения существования с доказательством как одним из своих видов означает требовать сильного ограничения множества допустимых объектов математики.
Пусть КМ обозначает классическую математику; ММ — конструктивную математику Маркова; БМ — конструктивную матема- тику Бишопа; ИМ — интуиционистскую математику Брауэра. Соотношение перечисленных видов математики указано на рис. 4.3.
Согласно рис. 4.3, классическая и интуиционистская математики Брауэра частично пересекаются, при этом математика Бишопа исчерпывает область их пересечения.
Математика Маркова частично пересекается с интуиционистской, полностью включает математику Бишопа и является собственной частью классической математики. Математика Бишопа — классическая математика, использующая интуиционистскую логику. Интуиционистская математика — математика Бишопа вместе с принципом непрерывности и фан- теоремой Брауэра, которые ложны в классической математике. Математика Маркова — математика Бишопа вместе с принципом Маркова, отвергнутым как Брауэром, как и Бишопом.Приведенная на рис. 4.3 схема оставляет открытым вопрос, существует ли математика, не являющаяся ни классической, ни интуиционистской. Утвердительный ответ на него следует только при допущении, что классическая и интуиционистская математики вместе не исчерпывают класс всех возможных математик. Этот вопрос, насколько известно, в философской и методологической литературе не только не обсуждался, но даже и не ставился.
Рис. 4.3. Соотношение классической, конструктивной (Маркова и Бишопа) и интуиционистской математики Брауэра