7. Понятие онтологической совместности

Этот принцип не произволен. Он вытекает из общей теории логических норм и из понятия онтологической истинности. Логика по своей сути — это система правил трансляции истинности. Она не может войти в противоречие с каким-либо истинным описанием объекта. Система любых истин совместна и несовместность описания говорит о его ложности в некоторых моментах. Таково общее отношение истинности и логической непротиворечивости, вытекающее из статуса логики. В эмпирических науках мы не можем непосредственно переходить от истинности суждений к их непротиворечивости по той причине, что истинность системы эмпирических утверждений всегда проблематична. Мы осуществляем здесь только обратный переход, а именно из замеченной противоречивости описания заключаем о ложности некоторых его компонентов. Но если математическое знание в своих исходных утверждениях строго коррелятивно предметной онтологии, относительно которой мы вправе утверждать ее инвариантность для человеческого мышления и, таким образом, предельную истинность, то мы вправе заключить от аподиктической очевидности аксиом к их абсолютной онтологической истинности, а следовательно, и к их безусловной непротиворечивости. Исходные математические теории, такие, как арифметика и евклидова геометрия, являются, с этой точки зрения, несомненно непротиворечивыми, поскольку принципы, на которых они базируются, полностью детерминированы универсальной онтологией.

Вариант перехода от аподиктической очевидности к логической корректности мы уже использовали в теории доказательства.

АЕ(р) R(p),

где АЕ — аподиктическая очевидность, a R — надежность доказательства. Принципиальный момент этого умозаключения состоит в том, что от некоторой чисто эпистемологической характеристики доказательства, фиксируемой социально (внелогически), мы переходим к его логической характеристике, а именно к утверждению о невозможности его опровержения посредством логического анализа или контрпримеров.

Аналогичная запись, относящаяся к обоснованию математической теории, будет иметь, очевидно, следующий вид:

АЕ(Еа) Consis(Za),

где Еа — некоторая система математических аксиом, Consis(Za) — свойство ее логической совместности. Мы фиксируем здесь переход от онтологической истинности как некоторой эпистемологической характеристики системы аксиом к ее логической характеристике. Важно понять, что в обоих случаях мы имеем дело не с произвольными постулатами, позволяющими уйти от трудностей логического обоснования, а с принципами, проистекающими из* глубинной природы математического знания.

Среди 23 проблем, сформулированных Д. Гильбертом в его знаменитом докладе на Втором международном конгрессе математиков в 1901 г., в числе первых стоит проблема доказательства непротиворечивости арифметики. В отличие от большинства проблем из этого списка эта проблема все еще не может считаться окончательно разрешенной. Вторая теорема Гёделя (1931), по мнению большинства, является отрицательным решением этой проблемы, однако другая теорема Гёделя (1932), может быть истолкована в смысле ее положительного решения, поскольку она показывает, что непротиворечивость классической арифметики полностью предопределена непротиворечивостью арифметики интуиционистской, непротиворечивость которой трудно поставить под сомнение8.

Принцип онтологической совместности, очевидно, позволяет нам утверждать непротиворечивость арифметики, исходя исключительно из факта аподиктической очевидности ее аксиом. Мы исходим здесь из того, что установление факта праксеологической природы аксиом некоторой теории означает одновременно и обоснование их истинности, а также и обоснование их непротиворечивости. В рамках анализа понятия онтологической истинности мы можем показать, что эта вера не может нас подвести, что аподиктически очевидные факты математики, детерминированные универсальной онтологией, не могут войти в противоречие друг с другом. Отсутствие математического обоснования непротиворечивости теорий элементарной математики, таким образом, не означает, что мы не имеем никаких рациональных аргументов для веры в их непротиворечивость и верим в эту непротиворечивость только на основе индукции.

Онтологическая программа обоснования математики, таким образом, отказывается от задачи логического обоснования арифметики и других элементарных теорий математики, базирующихся на аподиктически очевидной аксиоматике. Арифметика и геометрия с самого начала признаются здесь безусловно непротиворечивыми вследствие онтологической истинности представляющих их аксиом. Усилия, затраченные математиками и логиками на доказательство непротиворечивости -арифметики, могут рассматриваться с этой точки зрения лишь как логические упражнения, доказывающие то, истинность чего вообще нельзя подвергать сомнению. Праксеологическая теория математических идеализаций позволяет принять непротиворечивость элементарной математики как простой факт, как следствие онтологической истинности принципов, лежащих в ее основе.

Программа обоснования математики является эффективной, если она демонстрирует свою эффективность для достаточно широкого круга математических теорий. Мы можем исходить из критерия Бернай- са как вполне оправданного. Проблема обоснования математики будет состоять тогда в том, чтобы ответить на вопрос, достаточен ли факт непротиворечивости элементарных математических теорий для обоснования непротиворечивости классического анализа и той части теории множеств, которая вовлечена в его систематическое изложение. Есть все основания думать, что на этот вопрос может быть дан утвердительный ответ.

Общий план действий, который будет реализован в ближайших главах, будет состоять в рассмотрении традиционных программ обоснования математики с точки зрения возможных путей расширения их обосновательного слоя на основе понятия онтологической истинности.