Проблема обоснования математики

Хорошо, что существуют логики и интуитивисты; кто рискнет утверждать, что он предпочел бы, чтобы [логик] Вейерштрасс никогда не писая или чтобы [интуитивиста] Римана не было? Таким образом, мы должны примириться с разнообразием умов или, еще лучше, мы должны ему радоваться.

А.

Основной принцип научного исследования состоит в том, что ни одно высказывание, ни одна теория не принимаются научным сообществом без достаточных оснований. Однако в ряду всех наук математика занимает особое место. Ее утверждения не просто истинны, а необходимо истинны. В чем источник необходимости математических утверждений? Что может служить достаточным основанием их принятия? — Ответы на эти принципиальные вопросы образуют содержание проблемы обоснования математики. Было предложено множество ответов, большинство которых источник необходимости математических истин видит в особенностях математического знания и соответственно этому развивает особую программу обоснования математики. Это прежде всего программы логицизма (основание математики — в логике), интуиционизма (основание математики — в априорной интуиции времени), конструктивизма (основание математики — в точном предписании, называемом алгорифмом) и формализма (основание математики — в представлении ее в виде исчисления), которые подробно анализи- руются ниже. Для полноты картины к ним следует добавить так называемый платойистский взгляд на природу и особенности математических объектов, концепцию самоочевидности математических теорий и змпиристскую доктрину необходимости математического знания.

Согласно платонистам, которые не образуют самостоятельного направления и могут принадлежать к разным школам обоснования математики, математика имеет дело с объектами особого рода, реальность существования которых совершенно не зависит от природной действительности или по крайней мере не ниже уровня реальности природных объектов.

Создатель теории множеств Кантор рассматривал бесконечные множества как объекты, как нечто, подобное идеям Платона. «...Под 'многообразием' или 'множеством' я понимаю вообще всякое многое, которое можно мыслить как единое, т. е. всякую совокупность определенных элементов, которая может быть связана в одно целое с помощью некоторого закона, и таким образом я думаю определить нечто, родственное платоновскому 'эй- досу' или 'идее*...».2 Платонизм Кантора был прямым следствием принятия допущения актуальной бесконечности.

В новейшее время платонистскую позицию в математике защищал Гёдель, называя ее математическим реализмом. «...Классы и понятия можно мыслить как реальные объекты, т. е. классы как "множества вещей', или как структуры, состоящие из множества вещей, а понятия как свойства вещей и отношения между ними, существующие независимо от наших определений и конструкций.

Мне кажется, что допущение таких объектов так же законно, как и допущение физических тел, и имеются все основания верить в их существование. Они необходимы для получения удовлетворительной системы математики в том же смысле, в каком физические тела необходимы для удовлетворительной теории наших чувственных восприятий...»2

Неудовлетворительность платонистской точки зрения на обоснование математики .состоит в том, что она не объясняет, а постулирует необходимость существования определенных объектов. На самом деле любая математическая теория зависит от множества допущений, что делает объекты, существование которых она утверждает, не абсолютно, а только условно необходимыми.

Аксиоматический характер многих 'математических теорий, а также особый статус аксиом в дедуктивной системе, их независимость от опыта наталкивают некоторых математиков на предположение, что необходимость математических суждений является следствием их самоочевидности. Данный критерий восходит, по крайней мере, к Декарту, который утверждал, отвечая своим оппонентам: «Все, что я воспринимаю ясно и отчетливо, по необходимости истинно»3. Развернутую защиту концепции самоочевидности математических истин дал Лейбниц. По его мнению, в основе самоочевидности лежит то обстоятельство, что все математические истины суть тождественные, т. е. необходимо истинные, истинные сами по себе, утверждения. Их отрицание, следовательно, всегда ложно. «Бесспорно, что тождественные предложения являются первыми из всех и не допускают никакого доказательства, будучи тем самым истинными сами по себе... И очевидно, что все необходимые, или вечно истинные, предложения являются виртуально тождественными, — те, конечно, которые могут быть доказаны из одних только идей или определений... т. е. могут быть сведены к первым истинам, так что окажется, что противоположное содержит в себе противоречие и приходит в столкновение с каким-либо тождеством, или первой истиной»4.

К сожалению, несмотря на все усилия рационалистов, критерий самоочевидности сам не является самоочевидным. Как хорошо знают изучавшие математику, не все математические истины самоочевидны.

Всем указанным взглядам на причину математической необходимости противостоит точка зрения, согласно которой математика, если не по происхождению своих абстракций, то по своему методу,«— эмпирическая наука. Д. С. Милль6 в XIX в., Л. Кальм&р7и И, Лакатос8 в XX в. наиболее последовательно, хотя и с некото- рыми отличиями друг от друга, отстаивали эту точку зрения. Основные аргументы ее защитников таковы. Если математика — наука, то она, как и все остальные науки, должна быть опытной по происхождению, ее метод должен быть подобен общенаучному и степень необходимости ее положений не может превосходить степень необходимости естественнонаучных теорий. Математическая необходимость есть не более чем необходимость следования теорем из посылок, называемых аксиомами. Но это уже не онтологическая, а логическая необходимость. К математике в собственном смысле она не имеет прямого отношения.

Неудовлетворительность эмпирического обоснования математики следует из того, что математические суждения не просто истинны, а истинны с необходимостью. Необходимость же может быть следствием только необходимости. Но опытные суждения не являются необходимо истинными и не могут служить формальным основанием истинности математического знания. Никакое число объединений двух различных объектов с тремя различными объектами не может доказать аподиктичность элементарного суждения арифметики «2 + 3 = 5».

Можно поэтому согласиться со следующей оценкой перспективности эмпирического обоснования математики. «Верно, что математика в конечном счете отражает объективный мир, но она (как наука) имеет свою специфику по сравнению с эмпирическими науками, и поэтому нельзя отождествлять методы развития и обосно- вания математики с методами развития и обоснования эмпирических наук. Методы математики и естествознания в определенной степени сходны, но не идентичны, что связано прежде всего с тем обстоятельством, что идеальные модели пространственных форм и количественных отношений действительности, являющиеся в конечном счете предметом математики, не даны нам непосредственно эмпирически»11.

Кроме необходимости, математическое знание обладает и другими особенностями, также влияющими на построение программы обоснования.

Математическая теория — содержательная или формальная дедуктивная система, управляемая небольшим числом аксиом. Каждая математическая аксиома — абстракция отношений между природными или социальными объектами. Природа идеализации такова, что никакой опыт не соответствует им с абсолютной точностью. Всякая попытка провести идеально прямую линию, скажем на бумаге, обречена на неудачу. С одной стороны, идеализации — продукты творческого воображения, но никак не результаты наблюдения, обобщения и систематизации данных опыта.

В дедуктивных системах аксиомы выполняют функцию посылок, из которых с помощью специальных правил выводятся следствия (теоремы). В отличие от естественнонаучных теорий, в которых истинность посылок зависит от истинности их следствий, в математических теориях все наоборот — истинность теорем полностью обусловлена истинностью аксиом, из которых они следуют. Значит, истинность математических утверждений зависит не от опыта, а от истинности аксиом. Последние обосновываются либо посредством интуиции, либо признаются априорными конструкциями52. Таким образом, в подавляющем числе случаев специфику математики принято видеть в необходимости и независимости ее утверждений от опыта, интуитивном или априорном происхождении ее аксиом. В зависимости от того, какие особенности математиче- ского знания выделяются в качестве специфических, строится конкретная программа обоснования математики.

Процедура обоснования математики формально имеет характер следующей неразрешимой дилеммы. Математическое знание, как и всякое другое знание, требует внешнего обоснования. Ибо ясно, что математика не является самодостаточной, самой себя обосновывающей наукой. Но, будучи необходимой, математика не может быть обоснована ничем внешним, эмпирическим, потому что последнее принципиально не является необходимым. Решить эту дилемму неформально означает доказать, как математическое знание достигает необходимости (аподикгичности), хотя его предпосылки сами не являются необходимо истинными.