5. Реальность математических объектов

Необходимо разделить методологическое и философское понимание математического реализма. Методологический реализм сводится к утверждению, что в математике в качестве непосредственно истинных могут приниматься не только утверждения о конкретных предметах (числах, фигурах), но и утверждения об абстрактных сущностях, таких, как множество действительных чисел и т. п. Номиналисты полагают, что подлинной надежностью обладают только высказывания о конкретных объектах, таких, как натуральные числа и операции с ними. Этот спор в настоящее время нужно считать законченным: методология математики в достаточной степени прояснила тот факт, что строго номиналистическое построение математики не может быть осуществлено.

Для проблемы обоснования математики более важной является идея метафизического реализма, который стремится найти за математическими абстракциями некоторого рода реальное существование26. Праксеологическое понимание математических идеализаций решает этот вопрос в положительном смысле. Конечно нельзя думать, что математическому треугольнику соответствует реальный треугольник, существующий в некотором поднебесном мире, как это думал Платон. Идея субстанциального существования математических объектов неприемлема. Но с другой стороны ясно, что система исходных представлений математики не вымысел, не конвенция и не плод свободного воображения. Система исходных математических идеализаций однозначно определена структурой предметной онтологии, и в этом смысле она имеет несомненную объективную значимость, прямое отношение к структуре нашего мира.

В своем отношении к миру человек строит два уровня представлений: теоретические представления, систематизирующие данные опыта, и онтологические представления, фиксирующие в себе необходимые условия акта деятельности. Оба этих уровня представлений обладают объективной значимостью, ибо оба они определены и подтверждены практическим отношением человека к миру. И если математическая теория в своих исходных интуициях задана категориальной онтологией, то ей не может быть отказано в статусе реально значимой теории. Соглашаясь с теми, кто говорит, что законы математики — не законы природы, мы тем не менее имеем право настаивать на их связи со структурой реальности, выраженной в категориях. Этот ход мысли приобретает полную ясность, если мы перейдем от Канта, который считал категории только формой мышления, к Гегелю, который считал их также и формами бытия вещей. Праксеологическая теория познания оправдывает позицию Гегеля, указывая тем самым и путь для понимания смысла утверждений о реальности исходных математических идеализаций.

Анализ показывает, что существуют три смысла, в которых мы можем понимать утверждение о реальности (реальной значимости) математического объекта. Во-первых, мы можем говорить о системе первичных математических объектов в целом как однозначно детерминированных системой онтологических представлений. Мы понимаем, что в отличие от героев сказок и мифов эти объекты не являются продуктом свободного установления: они "являются необходимыми структурами сознания, а следовательно, и необходимыми структурами реальности.

Во-вторых, мы можем понимать реальность математического объекта также и в смысле его прямого соответствия некоторым аспектам универсальной онтологии.

Математические объекты реальны также и в том смысле, что в отличие от чистых фикций они обладают обязательной интерпретацией в мире опыта. Как уже было сказано, человеческое познание и сама человеческая деятельность были бы невозможными, если бы эмпирическая реальность радикально расходилась с представлениями, выраженными в онтологии. Мы не можем утверждать в качестве абсолютно истинного суждения, что все явления имеют причину, но само наше существование говорит о том, что достаточное количество явлений подчиняется этому правилу и что категориальные представления, связанные с причинностью, всегда интерпретируемы в мире опыта. Не все реальные совокупности объектов могут быть подведены под понятие числа или под понятие множества, но само наше существование и процесс деятельности доказывают наличие объектов в эмпирическом мире, которые с достаточной точностью воспроизводят основные свойства этих идеальных образов.

Праксеологический априоризм, таким образом, отличается от традиционного тем, что он является одновременно и реализмом.

Сказанное позволяет понять рациональный смысл известных высказываний К. Гёделя о реальном статусе математических объектов. Гёдель, как известно, настаивал на том, что математика имеет дело со специфическими математическими объектами, существующими во внечувственном мире, до и независимо от математических теорий27. Он допускал также, что наряду со способностью к чувственному восприятию человек обладает способностью внечувственного восприятия, обеспечивающего ему доступ в мир математических объектов. «Несмотря на свою несхожесть с чувственным восприятием, — писал Гёдель, — мы имеем нечто подобное ему также и для объектов теории множеств, что усматривается в том факте, что аксиомы теории множеств навязаны нам как несомненно истинные»28.

С онтологической точки зрения идея Гёделя о реальном статусе математических объектов может быть понята как указание на предметную онтологию, существующую независимо от математики и определяющую структуру исходных математических понятий. Поскольку предметная онтология является выражением структуры мира, выявляемой деятельностью, то исходные математические идеализации следует считать обусловленными реальностью в той же мере, что и законы физики. Идея Гёделя об аналоге восприятия, раскрывающего мир математических объектов, также имеет смысл.

Современные теории математического реализма неудовлетворительны вследствие отсутствия подлинного анализа онтологии математики. Не проясняя связи математических идеализаций с деятельност- ной онтологией, современный математический реализм сводится либо к обоснованию (абстрактного) объективизма в духе Канта и Гуссерля, либо к попыткам прямого соотнесения математики с физической реальностью того типа, который дается эволюционной эпистемологией. Натуралистические подходы, однако, столь же несостоятельны, как и подходы чисто идеалистические, рассматривающие математические понятия как произвольные конструкции сознания.

Г. Штейнгауз в своей статье о математической строгости защищает два, на первый взгляд, противоречащих друг другу суждения. Он убежден, что математика никогда не обосновывала своих утверждений на основе опыта, никогда не была «подобием экспериментального естествознания» и что вместе с тем она не шахматная игра, правила которой могут быть изменены по нашему произволу, поскольку ее принципы отражают реальность29. Представляется, что главная задача современной философии математики состоит в согласовании этих двух несомненно истинных положений. Мы должны понять, что исходные принципы математики не имеют никакого отношения к опыту и к исторически меняющейся психологии людей, а с другой стороны, они однозначно навязаны нам и, следовательно, имеют прямое отношение к структуре нашего мира. Решение этой проблемы состоит в понимании онтологии как основы математических представлений. Анализ онтологического основания математического мышления оправдывает как априорность, так и реальность математического знания.

Основная проблема современной философии математики состоит в том, чтобы прояснить отношение математических понятий к аспектам реальности, составляющим онтологическое основание математического мышления. Мало кто сомневается, что существует некоторое изначальное видение реальности, определяющее структуру исходных математических представлений. Речь идет здесь лишь об определении истоков и характера этого видения. Мы очертили здесь контуры новой философии математики, основанной на представлении о дея- тельностной природе исходных математических идеализаций.