3. Редукция скрытых противоречий к обозримым
Допустим, что система аксиом противоречива в том смысле, что относительно некоторого производного объекта в теории можно доказать одновременно как Р(а), так и не-Р(а).
Иначе говоря, мы рассмотрим тот случай, когда противоречивость системы аксиом обнаруживается через явное столкновение некоторых теорем. Если объект (а) используется без строгого определения, то противоречие можно интерпретировать как проистекающее из несуществования объекта или из некорректности его определения. Такого рода противоречия не колеблют принципов теории. Если же окажется, что все производные объекты, использованные при выводе противоречия, введены в соответствии с принципами существования, заданными в аксиомах, то это будет означать, что противоречие существует в самих аксиомах.Можно предположить, что эта противоречивость будет выразимой в виде прямого противоречия аксиом или их конституэнт и, таким образом, будет устранимой практически. В некоторых теориях такое положение имеет .место. Это относится ко всем разрешимым теориям, в которых любое противоречие сводится к явному противоречию в элементарных терминах. В общем случае, однако, это неверно. В сложных системах аксиом могут существовать утверждения о существовании, которые будучи интуитивно приемлемыми и непротиворечивыми в простых случаях, тем не менее, допускают объекты с противоречивыми свойствами. Примером такого утверждения является неограниченная аксиома свертывания в теории множеств, которая будучи тривиальной в своей общей формулировке, в ряде случаев может быть источником противоречивых выводов. Это значит, что тривиализация скорее скрывает противоречие, чем выявляет его и, таким образом, она не может выступать в качестве универсального приема проверки теории на непротиворечивость.
Чисто логическое рассуждение останавливается на этом положении, не очень благоприятном для тезиса о непротиворечивости аксиоматики и аксиоматизированной теории в целом.
Методологический анализ, однако, указывает здесь некоторый выход из затруднения. Мы будем исходить здесь из факта ретротрансляции математической истины и из факта конечной определимости системы аксиом.Допустим, что некоторая аксиоматика скрыто противоречива, т. е. неявно содержит некоторые тезисы ai и а2) не совместимые друг с другом. Но это значит, что мы имеем теорию, в которой одновременно реализуются две аксиоматические системы, а именно Г+ах и Г+а2) где Г — совокупность совпадающих аксиом. Даже если несовместимость ах и а2 и факт наличия несовместимых оснований в рассуждениях остаются неосознанными, естественно допустить, что каждая из этих дедуктивных систем стремится к максимальному развертыванию своих следствий. Можем ли мы рассчитывать на то, что нам удастся достаточно долго обойтись без прямого столкновения этих систем, т. е. без получения явно противоречивых следствий? Логика здесь ничего не может сказать, ибо ситуация не определена на уровне чисто логических понятий. В соответствии с теорией Я. Хинтикки существует некоторая глубина рассуждения с?, на которой скрытое противоречие в теории неизбежно становится явным5. В рамках логической формализации мы не можем определить конкретное значение этой величины. Методологический анализ, однако, позволяет утверждать, что необходимая глубина рассуждения никогда не может быть слишком большой, выходящей за сферу практической достижимости.
Прежде всего здесь нужно отметить то обстоятельство, что различные теории, определенные на одной системе объектов (рассматриваемый случай будет именно таким), являются изоморфными в своей структуре в том смысле, что они говорят об одной и той же совокупности объектов как исходных, так и производных, и ставят одни и те же вопросы относительно этих объектов. Теоремы в этих теориях параллельны в том смысле, что для каждой теоремы одной теории является осмысленным вопрос о ее корреляте в другой. Мы видим это, сопоставляя теоремы евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского.
Развертывание теории, содержащей одновременно и аь и а2, неизбежно приведет к построению двух явно различающихся рядов теорем. Столкновение этих рядов гарантировано и оно произойдет не в некотором неопределенном будущем, но в естественном определяющем слое теории, поскольку этот слой в данном случае должен содержать как теоремы, дедуктивно оправдывающие систему аксиом Г + ai, так и теоремы, оправдывающие Г + Это должны быть явно различающиеся ряды теорем, ибо в противном случае мы должны будем признать одно из двух: либо одна из противоречащих аксиом не использовалась вообще, либо обе эти аксиомы дедуктивно эквивалентны. С практической точки зрения первая альтернатива должна быть отброшена: мы не можем допустить, что одну из этих аксиом математическое сообщество обходило как заколдованную во всех тех случаях, когда она могла привести к следствиям, явно противоречащим следствиям другой аксиомы.Рассмотрим случай, когда а\ и а2 сформулированы явно и признаны в качестве противоречащих друг другу и мы параллельно строим две родственные теории, а именно, теории, основанные на аксиоматиках Г+аі и Г+а2. Появление явно противоречащих утверждений уже на первых этапах этой работы не вызывает сомнений. Мы будем действовать по простому рецепту: для каждого доказательства, использующего аксиому ai, мы будем строить доказательство, основанное на аксиоме а2. Очевидно, что уже в числе первых утверждений, а именно, в границах элементарного определяющего фрагмента, мы получим несовпадающие ряды теорем, ибо один из них в соответствии с modus tollens должен оправдать аксиоматику Г + ai, а другой — аксиоматику Г + а2.
Случай скрыто противоречивой аксиоматики будет отличаться от осознанного параллельного развертывания двух противоречащих друг другу теорий только степенью рефлексии, ибо в первом случае мы будем в течение некоторого времени ошибочно предполагать, что имеем дело с единой и непротиворечивой аксиоматикой. Объективный результат, однако, будет тем же самым: либо мы будем всюду использовать только одну из противоречащих аксиом, т.
е. будем строить фактически непротиворечивую систему; тогда другая из аксиом будет неизбежно исключена процессом минимизации, либо мы будем использовать оба допущения в равной мере, тогда получение явно противоречивых теорем неизбежно. Ясно также, что эти противоречия появятся уже на первой стадии развития теории, т. е. в пределах ее элементарного определяющего слоя.Из изложенного следует, что противоречия 4-го и 5-го типов возможны только теоретически. Практически они не могут возникнуть, ибо все возможные противоречия системы аксиом выявляются в пределах ее определяющего фрагмента и, таким образом, как практически обозримые они полностью устраняются на этапе ее становления до уровня завершенности. Это значит, что глубоко скрытые и недостижимые противоречия — не более чем методологические фикции, порожденные абстрактностью логического анализа. Переходя от чистой логики к методологии, т. е. к исследованию условий фактического сосуществования противоречащих утверждений в математической теории, мы убеждаемся, что это сосуществование может носить только эпизодический характер. Взаимодействие уровней теории, т. е. редукция теорем к аксиомам и аксиом к теоремам в конечное время выдавливает противоречия из ее центра, не делая исключения для какого-либо их типа.