Решение Апории Зенона о протяженности для случая математического континуума пространства и времени.

Когда имеются два неравных интервала, один из которых является собственной частью другого, больший интервал содержит точки, которые не принадлежат меньшему интервалу. В этом смысле точно установленного различия в тождестве и принадлежности множеству про больший из двух интервалов можно сказать, что он содержит «больше» точек, то есть точек иных, чем те, которые принадлежат меньшему интервалу.

Раз установлена независимость мощности и длины таких точечных множеств, можно элиминировать отдельные затруднения, свидетельствующие об ошибочности подобных трактовок бесконечной делимости интервалов, о чем мы будем говорить ниже. Таким образом, нельзя сделать вывод, что подразделение какого-то интервала на два или более подынтервалов сообщает каждому из полученных подынтервалов мощность, меньшую мощности первоначального интервала.

Интересную иллюстрацию независимости мощности и длины дает так называемое троичное множество (дисконтинуум Кантора). Это множество имеет нулевую длину (и нулевую размерность), обладая в то же время мощностью континуума1 (1 Р. Курант и Г. Роббинс, Что такое математика? Элементарный очерк идей и методов, Гостехиздат, М.—Л.. 1947, стр. 279, а также «Математика, ее содержание, методы и значение», под ред. А. Д. Александрова, А. Н. Колмогорова, М. А. Лаврентьева, Изд-во АН СССР, т. Ill, M., 1956.).

И существование этого множества показывает, что мощность, как таковая, еще недостаточна для придания положительной протяженности какому-либо интервалу, но что его положительная длина зависит от структурного расположения его элементов.

Теперь перейдем к выяснению того, почему парадоксальные выводы Зенона о том, что длина данного положительного интервала (а, b) равна нулю, нельзя вывести из двух следующих предположений нашей геометрии: 1) любой положительный или невырожденный интервал представляет собой соединение континуума вырожденных подынтервалов и 2) длина вырожденного (полуинтервала равна нулю. Представляется очевидным, что если теория непротиворечива, из нее нельзя вывести результат, полученный Зеноном. Такой результат противоречил бы предположению, что длина интервала (а, b) равна b — а (а?b). Более того, этот результат был бы несовместим с теоремой Кантора, согласно которой все положительные интервалы обладают одинаковой мощностью безотносительно к их длине, ибо эта теорема показывает, что ни один вывод относительно длины невырожденного интервала не может быть сделан из предположения 1) и 2) с помощью аддитивности длин, разрешаемой теорией. Чтобы показать далее, что наша теория обладает требуемой непротиворечивостью, то есть что она сама по себе не приводит к дедуктивному выводу парадоксального результата Зенона, мы должны рассмотреть определение длины объединения конечного числа неперекрывающихся интервалов, длина которых известна, и длины объединения счетной бесконечности таких интервалов.

Если какой-то интервал i является объединением конечного числа интервалов, из которых любые два не имеют общей точки, то есть если

i = i1 +i2 + i3 + • • • + in, (iPiq = 0 для р ? q),

то, как это следует из только что изложенной теории, длина всего интервала равна арифметической сумме индивидуальных длин его подынтервалов. Таким образом, мы имеем

L (i) = L (i1) + L (i2) + L (i3) +...+L (in).

Если мы теперь определим арифметическую сумму прогрессии конечных кардинальных чисел как предел последовательности частных арифметических сумм членов этой последовательности, тогда можно получить нетривиальное доказательство следующей теоремы: длина интервала, который подразделяется на перечислимое число подынтервалов, не обладающих общими точками, равна арифметической сумме длин этих подынтервалов2 (2 Этот вопрос обсуждается также во второй главе (§ 2А) моей книги «Современная наука и парадоксы Зенона».).

Отсюда сразу следует, что если стандартная математическая теория приходит к этому результату, то она должна была бы также утверждать,— чего она не делает! — что интервал состоит из счетного числа точек, а в таком случае апории Зенона были бы разрешимы.

Таким образом, как для конечного числа, так и для счетного бесконечного числа неперекрывающихся подынтервалов длина L (i) общего интервала представляет собой аддитивную функцию интервала i. Длина некоторого интервала является числовой мерой исчерпаемости (протяжен-ности) этого интервала, но не его мощности. Последняя не зависит от исчерпаемости числа членов этого

интервала.

Напомним, что длина была определена только для интервалов. До сих пор мы не приписывали какого-либо свойства, сходного со свойством длины, другим видам точечных множеств. Однако имеется много случаев, когда было-бы желательно получить своего рода меру протяженности, так сказать, точечных множеств, совершенно отличных от интервалов. Такого рода проблемы в равной степени, как и проблемы, с которыми сталкиваются в теории (Лебега) интегрирования, наталкивают на мысль о введении обобщенного метрического понятия меры L (S) множества S, чтобы с таким же успехом рассматривать множества, отличные от интервалов. Это метрическое понятие обобщает определение функции интервала L (i) таким образом, чтобы получить положительную аддитивную функцию множества L (S), которая совпадает с L (i) в специальном случае, когда S есть некоторый интервал i. И принципы, вытекающие из теории меры и уместные для нашего обсуждения метрических апорий Зенона, суть следующие: 1)

Мерой множества точек должно быть число, зависящее от множества таким образом, чтобы мера суммы двух множеств, которые не имеют ни одной общей точки, была бы суммой мер этих двух множеств... Мера множества, если рассматривать ее как функцию множества, должна таким образом быть аддитивной функцией, то есть такой, чтобы ее значение для множества E1 + Е2 было равно сумме ее значений для E1 и E2 . 2)

... любая сумма конечного или счетного числа измеримых множеств [которые все содержатся в небесконечном интервале] сама является измеримой. 3)

Мера суммы счетной бесконечной последовательности множеств, из которых никакие два не имеют ни одной общей точки, должна быть предельной суммой мер этих множеств всякий раз, когда эта предельная сумма существует. 4)

Каждое счетное множество точек является измеримым, и мера его равна нулю.

Следует отметить, что на основании 2) и 3) стандартная математическая теория утверждает, что мера является счетно аддитивной (или перечислимо аддитивной), точно так, как это утверждалось по отношению к длине, что очевидно из нашего прежнего обсуждения вопроса об аддитивности длины5 (5 Подробности относительно определения «меры» для различных видов точечных множеств читатель может найти в книгах: Н. Cramer, Mathematical Methods of Statistics, p. 22 ff; P. R. H a 1 m о s, Measure Theory, New York: D. Van Nostrand Co., 1950.).

Поскольку теория бесконечной делимости ошибочно использовалась при попытках дедуктивно вывести метрические апории Зенона, мы укажем на соответствующие ошибки, прежде чем перейти к существу нашей проблемы— опровержению второго положения метрической дилеммы

Зенона.

В переписке с Лейбницем Иоганн Бернулли совершил следующую существенную ошибку: он трактовал актуально бесконечное множество натуральных чисел как множество, обладающее последним или ?-м членом, которого можно достигнуть, начиная свой путь от нуля1 (1Г. В е й л ь, О философии математики, Гостехиздат, М.—Л.,1934, стр. 71.).

Ясно, что точка зрения Бернулли внутренне противоречива, поскольку никакая счетная бесконечность дискретных членов не может иметь последнего члена.

Выдвигая аргументы в пользу своей теории бесконечно малых, Пирс повторил ту же ошибку Бернулли, рассуждая следующим образом: 1) протяженность иррационального числа в десятичных знаках имеет бесконечное число членов, 2) бесконечная протяженность в десятичных знаках имеет последний элемент на «бесконечном месте», и, поскольку этот элемент находится «бесконечно далеко» в протяженности десятичных знаков, он бесконечно мал, или инфинитезимален, по сравнению с конечными величинами; 3) поскольку понятие непрерывности не может обойтись без иррациональных чисел, оно предполагает бесконечно малые. Более того, метод определения иррациональных точек с помощью совокупности вложенных интервалов3 (3 P. Курант и Г. Роббинс, Что такое математика?стр. 83—84.), предложенный Дюбуа-Раймоном, оказался ошибочным, так как его тоже можно обвинить в той же ошибке, что и Бернулли5 (5Основная ошибка Дюбуа-Раймона состоит в предположении, что метод совокупности вложенных интервалов допускает и требует «сращивания» конечных точек «предпоследнего» интервала в одну точку, так что это «сращивание» является последним шагом в бесконечной прогрессии формирования совокупности вложенных интервалов. Если рассматриваемый метод требует такого сращивания, тогда против него можно выдвинуть те же логические возражения, что и против представления Бернулли о оо-м, или последнем, натуральном числе. Однако это не так, ибо если этот метод фактически ссылается на прогрессию интервалов, то он не может ни допускать, ни требовать, чтобы иррациональная точка была «последней», или оо-й, такого «стягивающегося» интервала. Вместо апелляции к «сращиванию» данный метод устанавливает иррациональную точку с помощью метода вариаций интервалов в целой последовательности. Поэтому о свойстве целой последовательности, позволяющем нам определить некоторую точку, утверждают, что оно существует. Повидимому, Дюбуа-Раймона ввели в заблуждения образные выражения, подобные тому, что «интервал стягивается в точку». ).

Перейдем к рассмотрению этой ошибки, потому что ее допускают в тех случаях, когда пытаются использовать бесконечную делимость положительных интервалов в качестве основания для дедуктивного вывода метрической апории Зенона и для отрицания того, что положительный интервал может рассматриваться как совокупность непротяженных точек. Точно такой же дедуктивный вывод этого парадокса приписывают Зенону Ли и Таннери, причем оба, по-видимому, не замечают указанной ошибки.

Согласно их версии, аргументация Зенона подразумевает следующие исходные предположения: 1)

бесконечная делимость гарантирует возможность завершенности процесса «бесконечного деления», то есть завершенность множества операций разделения, которое все же является бесконечным;

завершение этого процесса «бесконечного деления» достигается последней операцией в этой последовательности и завершается «достижением» последнего результата деления — математической точки нулевой протяженности 3 (3Это предположение следует связывать с другим, а именно что написание всех x0 чисел в бесконечной последовательности десятичной дроби, выражающей число , было бы завершено на писанием последней цифры (ср. «Modern Science and Zeno's Paradoxes», Ch. II, § 4).); 2)

некоторая актуальная бесконечность, состоящая из различных элементов, порождается с помощью такого процесса «бесконечного деления», о котором говорят, что его можно завершить;

4) поскольку множества операций разделения начинаются с первой операции над всем интервалом и за каждой операцией непосредственно следует другая, причем каждое множество, за исключением первого, имеет определенного предшественника, все они вместе составляют прогрессию множеств одной или более операций.

В предположениях 3 и 4 о «конечных элементах», к которым адресовались метрические аргументы Зенона, говорилось, что они должны порождаться завершенной прогрессией операций разделения. Однако этот вывод является абсурдным, ибо по самой своей сути прогрессия не должна иметь последнего члена и быть завершенной! И высказывание внутренне противоречивого предложения, что в такой актуально бесконечной совокупности существует «последнее» деление, обеспечивающее завершенность процесса «бесконечного деления» «достижением» «конечного» продукта деления, означает фактически повторение ошибки

Бернулли.

Отсюда сразу же следует несколько выводов. 1)

Мы никогда не «достигаем» актуальной бесконечности математических точек с помощью «бесконечного деления»; следовательно, вообще и вопроса стоять не может о порождении актуальной бесконечности непротяженных элементов с помощью «бесконечного деления». 2)

Сами по себе факты бесконечной делимости не дают законного повода для метрических апорий Зенона, ибо последние могут появиться только, если ab initio постулировать актуальную бесконечность непротяженных элементов. Именно потому, что теория Кантора основывается на этом последнем постулате (а совсем не потому, что его числовая ось бесконечно делима), мы должны рассмотреть, сталкивается ли предложенное Кантором понимание линии с метрическими трудностями, которые были сформулированы Зеноном.

Чтобы показать, что последнее высказывание может быть подтверждено в рамках теории точечных множеств, мы на основании этой теории сформулируем интерпретацию бесконечной делимости, совместимую с этой теорией.

Понятие «деление» линии не имеет ясного смысла до тех пор, пока мы не определим точно, понимаем ли мы под «линией» сущность, подобную чувственно воспринимаемой «непрерывной» линии, начерченной мелом на доске, или совсем другую непрерывную линию теории Кантора.

«Непрерывность» чувственно воспринимаемой линейной протяженности состоит, по существу, в невозможности найти в ней разрывы, когда взгляд скользит по ней от одного конца до другого. В чувственно воспринимаемом «континууме» не существует различных элементов, и о нем, как и о видимой линии, нельзя сказать, что он представляет собой совокупность, обладающую структурой. Напротив, непрерывность линии Кантора выражается именно в сложных структурных отношениях (точек) элементов, которые определяются постулатами для вещественных чисел.

Мы не всегда можем воспринять третий разрыв между двумя визуально воспринимаемыми разрывами (секциями) на чувственно воспринимаемой линии. Таким образом, визуально воспринимаемые разрывы (секции) на этой линии не составляют множества, обладающего различимой плотностью. Это означает, что любое имеющее смысл утверждение относительно возможной делимости чувственно воспринимаемой линии должно быть совместимо с наличием порога чувственных восприятий. Разделение чувственно воспринимаемой линии означает образование одного или более воспринимаемых разрывов на ней. Наоборот, любое утверждение, приписывающее (бесконечную) «делимость» линии, как она понимается Кантором, должно основываться на том факте, что эта линия и ее интервалы уже ab initio «разделены» на актуально бесконечное множество точечных элементов, составляющих эту линию (интервал), причем это множество обладает плотностью. В соответствии с этим о линии, в смысле Кантора, можно сказать, что она уже действительно разделена на бесконечное число элементов. «Разделение» линии не может поэтому означать ни создания визуально воспринимаемых разрывов на ней, ни «отделения» точек-элементов друг от друга, которое делает их различимыми. Когда мы говорим о «разделении» линии в смысле Кантора, то это означает выделение положительных неперекрывающихся подынтервалов и (собственных или несобственных) интервалов линии; в случае конечных точечных множеств вообще и вырожденного интервала в частности «разделение» будет означать образование собственно непустых подмножеств. Положительный интервал бесконечно делим в том смысле, что допускает выделение по крайней мере одной счетной бесконечности положительных неперекрывающихся интервалов.

Из нашей дефиниции разделения и из свойств конечных множеств следует, что разделение конечного точечного множества на два (или более) члена с необходимостью ведет к уменьшению его кардинального числа. Это уменьшение подчеркивает отличие поведения конечного точечного множества от поведения интервалов, разделение которых приводит к образованию подынтервалов той же самой мощности, что и первоначальный интервал. Фундаментальное значение имеет осознание в данной ситуации того, что разделение интервала не приводит к уменьшению мощности получающихся подынтервалов по сравнению с первоначальным интервалом. Непреднамеренное отрицание этого обстоятельства, по-видимому, имплицитно входит (вместе с ошибкой Бернулли) в ошибочное предположение о том, что бесконечная делимость интервала гарантирует возможность получения всех составляющих его индивидуальных точек в качестве «продуктов бесконечного деления». Поскольку вырожденный интервал не имеет никакого собственного непустого подмножества, этот уникальный интервал является неделимым. Мы видим, что, согласно нашей теории, (бесконечная) делимость и неделимость являются соответственно теоретико-множественными, а не метрическими свойствами. Эта теория позволяет нам приписывать точное значение неделимости единичному точечному множеству, 1) определяя разделение как такую операцию, которая производится только надмножеством, а не над его элементами, 2) определяя делимость конечных множеств как образование их собственных подынтервалов, которые не являются пустыми, и 3) доказывая, что вырожденный интервал неделим по причине отсутствия у него подмножества необходимого типа.

Отметим, что деление представляет собой некоторую операцию над определенными точечными множествами, тогда как делимость и свойство быть сверхсчетной бесконечностью являются соответственно свойствами некоторых точечных множеств в случае канторовой линии. И бесконечная делимость интервала не приводит к какому-либо виду «бесконечного деления», которое породило бы сверхсчет-ность множества составляющих его точек1 (1 Тем не менее очень часто удобно обозначать принадлежность к множеству с помощью языка, применяющегося при описании эллипсов, говоря об актуальной бесконечности операций, которые, так сказать, приводят к «вырождению» элементов рассматриваемого множества. ).

Важное значение имеет ясное понимание того, что наш анализ показал, каким образом мы можем совершенно непротиворечиво высказывать следующие два предложения: 1)

линия и ее интервал бесконечно делимы; 2)

линия и ее интервал представляют собой совокупность неделимых вырожденных интервалов.

Теперь перейдем к решающему пункту нашей проблемы, а именно к опровержению, исходя из теории множеств второго положения метрической дилеммы Зенона.

Поскольку положительный интервал представляет собой совокупность континуума вырожденных интервалов1 (1Слово «континуум» может обозначать либо упорядоченную структуру вещественных чисел, либо ее мощность. Из контекста будет ясно, какое из этих значений подразумевается или что имеются в виду оба смысла сразу.) , мы должны теперь определить, какой смысл, если вообще таковой имеется, мы можем приписать «суммированию» длин этих вырожденных интервалов, чтобы получить длину интервала в целом. Решение этой предлагаемой проблемы не будет решением ad hoc, поскольку оно основывается на рассуждениях, зависящих не от частных величин отрезков по длине, которые последователи Зенона предлагают нам «сложить», а от того, что число этих длин, подлежащих сложению, является несчетным.

Ранее мы определили длину совокупности конечного числа перекрывающихся интервалов, длины которых известны, исходя из длин этих последних. Кроме того, мы сформулировали соответствующее определение длины соединения счетной бесконечности неперекрывающихся интервалов. Если мы теперь попытаемся подразделить интервал на несчетную бесконечность таких интервалов, то мы обнаружим, что они не могут быть невырожденными. Ибо Кантор доказал, что любая совокупность неперекрывающихся интервалов на линии представляет собой в лучшем случае счетную бесконечность. Отсюда следует, что вырожденные подынтервалы, находящиеся в фокусе нашего внимания, являются единственным видом (неперекрывающихся) подынтервалов, которых данный интервал содержит несчетное множество. Вполне естественно поэтому, что они порождают специфическую ситуацию. Последняя обусловлена тем, что наша теория не приписывает никакого значения процессу «образования арифметической суммы», когда мы пытаемся «суммировать» сверхсчетную бесконечность индивидуальных чисел (длин)! Этот факт не зависит от того, являются ли индивидуальные числа в таком сверхсчетном множестве чисел нулями или конечными кардинальными числами, отличными от нуля.

Следовательно, обсуждаемая теория не может рассматриваться как придуманная ad hoc для предотвращения возможности «складывания» на манер Зенона нулевых длин континуума точек, «составляющих» интервал (а, b) с тем, чтобы получить 0 в качестве длины этого интервала. Хотя конечный интервал (а, b) представляет собой соединение вырожденных подынтервалов, мы не можем содержательным образом определить его длину в нашей теории путем «складывания» индивидуальных нулевых длин вырожденных подынтервалов. Мы сталкиваемся здесь с примером, когда сложение возможно только в смысле теории множеств (то есть образования соединения вырожденных подынтервалов) и невозможно сложение (их длин) в арифметическом смысле.

Мы показали, что геометрическая теория, как она представлена здесь, не обладает парадоксальным свойством, приписывая, с одной стороны, ненулевую длину b- а интервалу (а, b), а с другой — запрещая делать вывод, что интервал (а, b) должен иметь нулевую длину при условии, что каждая из составляющих его точек имеет нулевую длину. Говоря более точно, мы показали, что геометрическая теория в рамках ее правил сложения длин можег непротиворечивым образом одновременно утверждать следующие четыре положения: 1)

конечный интервал (а, b) является соединением континуума вырожденных подынтервалов; 2)

длина каждого вырожденного (подынтервала равна 0; 3)

длина интервала (а, b) выражается числом b— а; 4)

длина интервала не есть функция его мощности.

Наш анализ, очевидно, опровергает голословные утверждения последователей Зенона о противоречивости геометрии теории множеств.

Анализ различных проблем, поставленных или подсказанных зеноновой апорией о множестве, с точки зрения теории множеств позволяет нам дать непротиворечивую метрическую оценку протяженного линейного отрезка как совокупности непротяженных точек. Таким образом, математические парадоксы Зенона аннулируются в формальном отношении геометрией, построенной на фундаментальных идеях Кантора.

Отмеченные выше правила сложения длин стандартной математической теории, непротиворечивость метрического анализа которой нам удалось показать, требуют, чтобы бесконечное множество точек, составляющее интервалы на линии, было несчетным. Таким образом, если бы любое бесконечное множество рациональных точек рассматривалось как составляющее Якобы протяженный линейный отрезок, рассматриваемая нами обычная математическая теория могла бы ценой отказа от внутренней непротиворечивости утверждать, что длина такого счетного точечного множества должна быть больше нуля. Ибо мы видели, что в стандартной теории и длина интервала и мера точечного множества являются счетно аддитивными. И следовательно, если бы о некотором интервале (а, b) между рациональными точками а и b утверждалось, что он состоит только из счетного числа рациональных точек, расположенных между а и b, то возникла бы следующая логическая ситуация: перечисление этого множества точек в соединении со счетной аддитивностью их нулевых длин допускало бы, что длина (а, b) равна (как это ни парадоксально) нулю. Этот нулевой результат может быть получен вообще без каких-либо ссылок на конгруэнтность и единицу длины, которые обеспечиваются перемещаемым стандартом длины, внешним по отношению к (а, b). Чтобы подчеркнуть независимость этого результата от внешнего для (а, b) стандарта длины, мы можем сказать, что «внутренняя» длина счетного «интервала» рациональных точек равна нулю, точно так же, как и мера такого «интервала». Может показаться, что в адрес данного вывода относительно фундаментального логического значения несчетности возможны следующие критические замечания. Чтобы избежать метрических противоречий, вытекающих из счетной аддитивности длины и меры, необходимо предположить, что бесконечные точечные множества несчетны. Без этих правил сложения было бы невозможно сделать вывод, что длина и мера счетного точечного множества оказываются равными нулю. Следовательно, если не принимать во внимание эти правила сложения, то можно было бы, по-видимому, не впадая в противоречие, приписать конечную длину некоторым счетным множествам и обосновать физическую теорию с помощью геометрии, основанной на понятии счетных множеств, Таким образом, можно было бы утверждать, что несчетное бесконечное точечное множество не всегда является необходимым условием непротиворечивости, поскольку эта необходимость существует только для тех формулировок теории, где длина и мера являются счетно аддитивными.

Чтобы оценить это возражение, нужно отметить прежде всего следующие два положения.

1)Отрицание счетной аддитивности для длины и меры повлекло бы за собой утрату той части стандартов, применяемых математиками, которые зависят от наличия в основах математики положения о счетной аддитивности. Так, например, необходимо было бы принести в жертву некоторые из рядов Фурье и собственные функции квантовой механики, равно как и теорию вероятностей и статистику. Ибо счетно-аддитивные функции вводятся в эти области, прикладной математики в той или иной форме посредством интеграла Лебега, меры Лебега или интеграла Лебега — Стилтьеса.

2)Независимо от требования метрической непротиворечивости в ситуации со счетной аддитивностью сверхсчетность интервалов внутренне присуща предположению о математической непрерывности пространства и времени и тем самым всем тем положениям теорий и эмпирических наук, которые зависят of этого предположения. Те, кто утвержда ет, что сверхсчетность точечных множеств вовсе не является существенной для физической теории, выдвигают необоснованное требование и не предлагают ничего иного, как только рекомендацию -попытаться построить физику пространства и времени на основании счетных множеств. Чтобы доказать свое утверждение, они должны продемонстрировать выполнение своих рекомендаций, доказав по крайней мере, что одна из отраслей математики, которая избегает апории Зенона, отказываясь от счетной аддитивности, чтобы постулировать счетность пространства и времени, является вполне жизнеспособной для эмпирических наук в качестве стан дартной математики, используемой в реальной физической теории1 (1 Ибо сомнения относительно тезиса, который утверждает математическую непрерывность пространства и времени, являются скорее конвенциональными, нежели эмпирическими (см. главу одиннадцатую).). Однако в свете физических соображений, выдвигавшихся в пользу счетной аддитивности, весьма сомнительно, чтобы физики согласились скрепя сердце принести ее в жертву. В этом существенном смысле метрическая апория Зенона относительно протяженности бросает вызов тем теоретикам, чьи философские обязательства не позволяют им использовать сверхсчетные бесконечные множества.

Сторонники точки зрения Зенона могли бы все же выдвинуть в качестве аргумента утверждение, что это арифметическое опровержение несостоятельно по чисто геометрическим соображениям, говоря, что если протяженность (пространство) должна быть составлена из элементов, то эти элементы сами должны быть протяженными. В частности, геометры, вроде Веронезе, возражали Кантору, что при расположении точек в линейном порядке все их протяженности, так сказать, «суммируются геометрически» перед нами. И с точки зрения этой геометрической перспективы предположение, что даже сверхсчетная бесконечность непротяженных точек была бы в состоянии образовать положительный интервал, не субъективно, по их мнению, особен-он потому, что теория Кантора может претендовать здесь на арифметическую непротиворечивость только в силу неясности, которая маскирует значение понятия арифметическая «сумма» сверхсчетной бесконечности чисел.

Убедительно ли это возражение Кантору? Не думаю. На чем же основано его правдоподобие? Следует, видимо, предположить, что оно становится убедительным благодаря молчаливому обращению к образному представлению точек в математической физике, где они располагаются в последовательном порядке в виде ряда шариков, образующих прямую линию. Однако свойства, которые любая подобная интерпретация приписывает в воображении точкам, как раз и не допускаются формальными постулатами геометрической теории хотя бы даже и в виде предписания. Незаконный характер ссылок на трудности, которые якобы доказывают несостоятельность концепции линии в теории Кантора, становится очевидным, если подчеркнуть, что не только мощность множества точек, составляющего линию, всецело исключает образное ее представление, но также и плотность порядка: между любыми двумя точками имеется бесконечное число других. Это полностью противоречит дискретному порядку шариков, расположенных в ряд, никакая точка не примыкает непосредственно к любой другой. Тщетность, неуместность и ошибочность попыток наглядно представить себе структуру канторова интервала становятся очевидными из следующего: если исключить одну из конечных точек первоначально замкнутого интервала, открытый «конец» этого интервала представлял бы непреодолимые трудности для изображения по причине отсутствия точки, соседней с исключенной.

Эти соображения показывают, что с истинно геометрической точки зрения нельзя получить физической интерпретации формальных постулатов геометрии путем образного представления индивидуальных точек геометрической теории. Это неизбежно приводит к неверному пониманию. Напротив, мы можем получить интерпретацию, которая совсем не будет обременена навязанными ей представлениями визуального пространства, которые к делу никакого отношения не имеют, если мы будем ассоциировать с соответствующими телами природы не термин «точка», а термин «линейный континуум точек» нашей теории. Под точкой этого тела понимается в таком случае не что иное, как элемент, обладающий формальными свойствами, которые приписываются точке постулатами геометрии. И согласно такой интерпретации, у современных последователей взглядов Зенона выбивается почва из-под ног геометрического parti pris (предвзятого мнения) против Кантора.

Иногда упускают из виду, что проблемы, поставленные зеноновой апорией протяженности, имеют не меньшее философское значение, чем проблемы, поставленные его апориями движения. Два примера проиллюстрируют нам, что существует недооценка того урока, который философия должна извлечь из пренебрежения зеноновой апорией протяженности в рамках стандартной математической теории.

1. Рассел пренебрег существенным вкладом, который вносят понятия мощности и порядковой структуры континуума в преодоление математических парадоксов Зенона математической теорией движения. Это философское пренебрежение очевидно из следующего отрывка:

Математики проводят различие между разными степенями непрерывности и ограничивают слово «непрерывный», применяемое в технических целях, рядами, обладающими некоторой высокой степенью непрерывности. Однако в философском отношении все то, что является существенным в понятии непрерывности, выражается более низкой степенью непрерывности, которая именуется «компактностью» [то есть плотностью]... Что же мы имеем в виду, когда говорим, что движение непрерывно? В наших целях необходимо рассмотреть все то, что подразумевает математик, когда говорит: только часть того, что он имеет в виду, имеет философское значение. Отчасти он подразумевает и следующее: если мы рассматриваем любые два положения, которые частица занимает в любые два мгновения, то всегда будет существовать другое промежуточное положение, которое она занимает в некоторое промежуточное мгновение...

Мы знаем, что одно лишь существование свойства плотности гарантирует только счетное бесконечное точечное множество. Однако в контексте правил стандартной математики относительно сложения длин необходимость в сверхсчетном бесконечном точечном множестве определяется требованием метрической непротиворечивости. Следовательно, в этом смысле имеются философские основания для требуемой более высокой степени непрерывности, чем та, которая гарантируется только свойством плотности2 (2Подобные критические замечания можно выдвинуть и в адрес Дедекинда. Он утверждает, что если мы постулируем прерывное пространство, состоящее только из алгебраических точек, то «прерывность этого пространства не будет заметна в евклидовой науке, как будто бы ее вообще нет» (R.Dedekind, Essays on the Theory of Number, Chicago: Open Court Publishing Co., 1901, pp. 37—38). Поскольку множество алгебраических точек все еще является счетным (A. Fraenkel, Einleitung in die Mengenlehre, New York:Dover Publications, 1946, p. 40), то, согласно представлениям Дедекинда о длине (мере) отрезка, составленного из таких точек, эта длина равна как нулю, так и положительной величине. Поэтому мы не можем согласиться с Вайсманом, который одобрительно комментировал Дедекинда, утверждая, что, «коль скоро дело касается физического пространства, становится обычным признание справедливости этой трактовки» (F. W a i s m a n n, Introduction to Mathematical Thinking, New York: F. Ungar Publishing Co., 1951,p. 212).).

2. Греки пришли к открытию несоизмеримых величин, конечно, не путем простого неоднократного выполнения операций по перемещению измерительных стержней3 (3Исторические подробности приведены в: R. v о n Fritz,The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum,«Annals of Mathematics», Vol. XLVI (1945).). Кроме того, с помощью одних непосредственных физических операций нельзя доказать, что существуют гипотенузы, длина которых не может быть представлена ни одним рациональным числом. Ибо пределы точности эксперимента и плотность множества рациональных точек гарантируют, что в силу одной только точности операций мы никогда не сможем прийти к чему-нибудь еще, кроме рациональных результатов. Радикальный операциональный подход к геометрии может поэтому внушить мысль, что эта наука построена так, что использует только рациональные точки1 (1 См. аппроксимативную геометрию Ельмслева [J. H j e I m s -1 е v, Die naturliche Geometrie, «Abhandlungen aus dem mathemati-schen Seminar der Hamburger Universitab, Bd. II (1923), S. Iff.], и комментарий на нее Вейля (Н. W е у 1, Philosophy of Mathematics and Natural Science, pp. 143—144).).

Анализ, проведенный в данной главе, имел целью доказать, что, коль скоро отсутствует опирающаяся на счетные множества альтернативная по отношению к стандартной математике, жизнеспособность которой в смысле описания физических явлений можно было бы доказать, такой операциональный подход к геометрии и к теоретическим измеримым физики должен быть отвергнут исходя из логических соображений2 (2 Критическое рассмотрение точки зрения Грюнбаума по данному вопросу см. в книге Ю. А. Петрова «Логические проблемы абстрактной бесконечности и осуществимости», М., 1967, стр. 121—131.—Прим. перев.).