<<
>>

Б. Риман

Краткое напоминание об идеях некоторых философских предшественников Римана в качестве исторического фона будет полезной предпосылкой подробного рассмотрения его доктрины о конгруэнтности, присущей континууму пространства и времени.

В средние века Роберт Гроссетесте и другие участники Оксфордской школы натурфилософии рассматривали попытки вывести теорему Пифагора из гипотезы о возможной дискретности физического пространства или, выражаясь современным языком, исходя из того, что пространство квантовано.

Согласно их взглядам, несоизмеримые пространственные интервалы, вывод о существовании которых следует из этой теоремы, убедительно свидетельствуют против квантования пространства. Несоизмеримость наводит на мысль о том, что (i) линейные интервалы представляют собой бесконечные множества непротяженных физических точек, а не конечные множества минимальных элементов пространства, обладающих положительной протяженностью (атомов пространства), и (ii) поскольку все физические пространственные интервалы являются бесконечными системами точек, то их меры (длины) не могут быть заданы кардинальным числом их точечных элементов и, следовательно, не могут быть установлены путем пересчета этих элементов. С другой стороны, если бы физическое пространство было гранулированным (дискретным, атомарным, квантованным), мера любого данного интервала могла бы быть выражена с помощью кардинального числа составляющих его квантов и, таким образом, мера протяженности содержалось бы внутри самих пространственных интервалов. Уолтер Берли сделал вывод, что, следовательно, «в континууме (непротяженных точек) по самой природе, а не только по установлению людей нет никакой первичной и единственной меры (то есть никакой меры, «содержащейся внутри пространственной протяженности»)» 1 (1 Цитируется по книге: Д ж. У и т р о у, Естественная философия времени, М.,УРСС,2003, стр.
219.).

К подобному же выводу пришел и Давид Юм2 (2 Д. Ю м, Трактат о человеческой природе, «Сочинения в двух томах», т. I, «Мысль», М., стр. 131—147.).

Из соображений, выдвинутых этими мыслителями, ясно, что если один атом пространства или любое целое их множество составляют единицу измерения, которая содержится внутри каждого интервала дискретного пространства, то внутри интервалов непрерывного пространства физических точек не содержится никакой единицы измерения. Таким образом, непрерывность физического пространства предполагает неограниченный конвенциональный выбор единицы длины. Напротив, в атомарном пространстве подобный неограниченный конвенциональный выбор не допускается; например, предполагаемая единица измерения, равная половине атома этого пространства, не допускала бы никакой физической реализации. В соответствии с этим уже размышления философских предшественников Римана наводят на следующие соображения: широта конвенционального выбора при определении метрики пространства зависит от фактов, которые сами не являются предметом конвенции.

Рассмотрим теперь интервал АВ в математически непрерывном физическом пространстве, скажем, данной (классной) доски, а также интервал Т0Т1 в континууме мгновений, образуемом, например, движением классической частицы.

В отличие от ситуации с атомарным пространством ни кардинальное число интервала АВ, ни любое другое свойство, внутренне присущее интервалу, не обеспечивает меры его собственной пространственной протяженности точно так же, как и временной протяженности Т0T1. Ибо интервал Л В характеризуется тем же самым кардинальным числом, как и любой из его собственных подынтервалов

и, следовательно, как и любой другой невырожденный интервал CD. Подобные же замечания имеют соответственно силу и для временного интервала T0T1. Если бы интервалы физического пространства или времени обладали внутренней мерой или «внутренне присущей метрикой», отношения конгруэнтности (равно как и неконгруэнтности) получались бы для непересекающихся пространственных интервалов АВ и CD именно в силу этой внутренне присущей им метрики.

Ив этом гипотетическом случае ни существование отношений конгруэнтности между пересекающимися интервалами, ни установление их познавательного значения логически не подразумевало бы повторяющееся наложение и перемещение какого-либо стандарта длины. Однако интервалы математически непрерывного физического пространства и времени лишены внутренней метрики. И при отсутствии такой внутренне присущей метрики основа для измерения протяженности физического пространства или времени должна быть обеспечена с помощью сравнения интервала с телом или процессом, который сопоставляется с ними извне и является тем самым «внешним» по отношению к интервалу. Следовательно, именно существование, а не только эпистемологическое установление отношений конгруэнтности (равно как и неконгруэнтности) между непересекающимися интервалами АВ и CD непрерывного физического пространства будет зависеть от соответствующих отношений, которые устанавливаются между такими интервалами и внешним метрическим стандартом, сопоставляемым с ними. Таким образом, вопрос о том, являются ли вообще два непересекающихся интервала конгруэнтными или нет, будет зависеть от частных совпадений внешнего метрического стандарта при его перемещении, а не только от частных интервалов AB и CD. To же имеет силу и по отношению к роли часов для случая непересекающихся временных интервалов T0T1 и Т2Т3.

Более того, отсутствие у интервалов физического пространства внутренне присущей им метрики — отсутствие, которое прежде всего и вынуждает прибегать к помощи внешнего перемещаемого метрического стандарта,— имеет своим следствием то, что непрерывная структура физического пространства не может удостоверить самоконгруэнтность (жесткость) любого внешнего стандарта в процессе его перемещения. Это же имеет силу и для физического времени и равномерного хода (изохронизма) часов. Именно по этой причине оказываются несостоятельными следующие два утверждения, которые явно или неявно содержатся в первой схолии «Начал» Ньютона: 1) критерием адекватности внешнего стандарта длины является фактически его пространственная самоконгруэнтность (жесткость) при перемещении, 2) если каждый из двух внешних стандартов длины приводит к несовместимым данным относительно конгруэнтности непересекающихся интервалов, то только один из них остается при перемещении поистине пространственно самоконгруэнтным (жестким).

Поэтому не следует ошибочно выносить приговор о несостоятельности этих двух утверждений в такой формулировке: внешний метрический стандарт является самоконгруэнтным в силу конвенции, а не в силу фактических свойств пространства, хотя любое соответствие между полученными с его помощью данными относительно конгруэнтности и данными, обеспечиваемыми другим таким стандартом, является, конечно, вопросом факта.

Теперь сопоставим это заключение с нашим прежним выводом о том, что наличие конгруэнтности между непересекающимися интервалами зависит именно от устанавливаемых эмпирическим путем отношений этих интервалов к перемещаемому стандарту, самоконгруэнтность которого устанавливается конвенцией. Тогда становится очевидным, что наличие отношений конгруэнтности между непересекающимися интервалами является: 1) вопросом конвенции именно в том смысле, что конвенциональной оказывается самоконгруэнтность внешнего метрического стандарта при его перемещении, и 2) вопросом факта именно в том смысле, до какой степени соответствующие отношения интервалов к сравниваемому с ними внешнему метрическому стандарту являются делом факта. Поэтому было бы неверно полагать вместе с Патнэмом, что, если существует группа физических законов (например, ньютоновы законы движения, закон Гука и т. д.), которая устанавливает, что все члены определенного класса С стандартов пространственной конгруэнтности должны показывать при перемещении одни и те же данные относительно конгруэнтности, тогда решение вопроса самоконгруэнтности при перемещении точно так же становится делом пространственного факта. Таким образом, наличие очень важного конвенционального ингредиента в проблеме конгруэнтности непересекающихся интервалов вовсе не противоречит тому, что данная конгруэнтность

получается по отношению к каждому из всей группы внешних стандартов, а не по отношению к одному-единственному стандарту, представленному невозмущенным жестким телом. Вот по каким причинам любой стандарт конгруэнтности является внешним, а самоконгруэнтность любого из них, как и всех их вместе, при перемещении является конвенциональной.

Отношения конгруэнтности между интервалами пространства, времени и пространства-времени соответственно определяются равными мерами ds3 , ds1 и ds4.

И поскольку эти соответствующие интервалы не обладают внутренне присущими им метриками ds3 , ds1 и ds4 , конгруэнтность, устанавливаемая между ними, является внешней.

Таким образом, метрика и конгруэнтность являются внешними для интервалов непрерывных многообразий пространства, времени и пространства-времени, но не для самих этих многообразий. Тем не менее, для краткости, касаясь этого вопроса, мы будем говорить, что данные многообразия (непрерывности) лишены внутренней метрики.

Концепция конгруэнтности выдвигает здесь допустимую альтернативу метризации непрерывности одних и тех же точечных элементов, которая основывается на несовместимости отношений конгруэнтности. Однако ничто в этой концепции не запрещает использовать критерий описательной простоты и разрешает пользоваться частным видом метризации и тем самым отобрать уникальный класс из классов конгруэнтных интервалов, исключая в определенных теоретических ситуациях остальные. Таким образом, ничто в этой концепции не предписывает нам не обращаться к конгруэнтности, заимствованной из физики нашей повседневной жизни как основе геометрии классной доски или письменного стола. К тому же наша точка зрения на конгруэнтность вполне допускает, что существуют убедительные основания описательной простоты (как это будет объяснено ниже во второй главе) для формулирования эмпирического содержания ньютоновой механики с помощью стандарта астрономической временной конгруэнтности, а не стандарта временной конгруэнтности, опирающегося на неравномерное вращательное движение Земли. Опять же ничто с данной точки зрения на конгруэнтность не вынуждало Эйнштейна чрезмерно усложнять уравнения общей теории относительности, используя пространственно-временную конгруэнтность, отличную от той, которую он использовал на самом деле. Однако в то же время наша точка зрения считает законными в философском отношении те случаи, когда в науке реально используются альтернативные критерии конгруэнтности того или иного вида, как это было объяснено выше.

Наши критические замечания в адрес точки зрения Ньютона на статус конгруэнтности в непрерывном физическом пространстве и времени касаются только их непрерывности в том виде, как он ее понимал, а не содержания законов физики, которое было предложено последующими теориями.

И та оценка конгруэнтности, которую мы предлагаем в противовес ньютоновой, представляет собой более ясное изложение того, что было довольно туманно изложено Риманом в следующих высказываниях его «Инаугурационной лекции» относительно пространства и времени:

Отдельные части многообразий могут быть выделены с помощью некоторых признаков или количественных (квантитативных) различий. С количественной точки зрения сравнение осуществляется в случае дискретных многообразий посредством счета, в случае непрерывных — посредством измерения. Измерение заключается в последовательном прикладывании сравниваемых величин; поэтому возможность измерений обусловлена наличием некоторого способа переносить одну величину, принятую за единицу масштаба, по другой величине. Если такой способ не указан, то сравнивать две величины можно лишь в том случае, когда одна из них является частью другой, и тогда речь может идти лишь о «больше» или «меньше», а не о «сколько»...

Вопрос... тесно связан с вопросом о внутренней причине возникновения метрических отношений в пространстве. Этот вопрос, конечно, также относится к области учения о пространстве, и при рассмотрении его следует принять во внимание сделанное выше замечание о том, что в случае дискретного многообразия принцип метрических отношений содержится уже в самом понятии этого многообразия, тогда как в случае непрерывного многообразия его следует искать где-то в другом месте. Отсюда следует, что или то реальное, что создает идею пространства, образует дискретное многообразие, или же нужно пытаться объяснить возникновение метрических отношений чем-то внешним — силами связи, действующими на это реальное 1 (1 Б. Р и м а н, О гипотезах, лежащих в основании геометрии. Сб. «Об основаниях геометрии», М., 1956, стр. ЗП, 323—324.).

Ниже мы увидим, что хотя Риман ошибался, предполагая, что первая часть этого утверждения выдержит критическую проверку в качестве характеристики непрерывного многообразия вообще, он изложил здесь фундаментальное свойство непрерывности физических пространства и времени,

которые суть многообразия, где все элементы, взятые отдельно, имеют нулевое измерение. Это основное свойство пространственно-временного континуума, как уже сейчас видно, лишает силы ньютоново утверждение о том, что пустому пространству и времени внутренне присуща определенная метрика. Продолжая обсуждение римановой трактовки пространственно-временной конгруэнтности, мы можем не, касаться ограниченности доканторовской трактовки Риманом дискретного и непрерывного типов порядка как взаимоисчерпывающих понятий.

Мы отложим это обсуждение до тех пор, пока в четырнадцатой и пятнадцатой главах не будет рассмотрено значение идеи Римана о том, что «основания для метрических отношений пространства должны быть найдены извне... в рассмотрении сил, которые воздействуют на него», для первоначальной попытки Эйнштейна использовать принцип Маха в общей теории относительности1 (1А. Эйнштейн, Принципиальное содержание общей тео рии относительности, «Собрание научных трудов», изд-во «Наука», М., 1965, т. I, стр. 613.).

Полагая, что утверждение Римана применимо не только к длинам, но также mutatis mutandis к площадям и объемам большего числа измерений, он дает следующее достаточное (но не необходимое) условие внутренней определяемости и неопределяемости метрики: в случае дискретно упорядоченного множества «расстояния» между двумя элементами могут быть внутренне определены довольно естественным путем с помощью кардинального (наименьшего) числа промежуточных элементов2 (2Здесь не рассматривается основание для прерывного упо рядочения; оно может быть конвенциональным, как в случае букв алфавита, или обусловлено особыми свойствами и отношениями объектов, обладающих специфическим порядком.).

В противоположность этому при сопоставлении протяженных непрерывных многообразий пространства и времени (их непрерывность в современной физической теории постулируется, если не считать программы квантования пространства и времени) ни кардинальность интервалов, ни любое другое топологическое свойство их не дают оснований для внутренне определяемой метрики3 (3Эта точка зрения делает в философском отношении законными те случаи, действительно имеющие место в науке, когда использо вались альтернативные критерии пространственной (или времен ной) конгруэнтности. Пример такого использования можно при вести с помощью диска, вращающегося с переменной угловой скоростью в плоском пространстве-времени Минковского. Подробное обсуждение этого примера см. в: A. G г й n b a u m, Geometry and Chronometry in Philosophical Perspective (University of Minnesota Press, Minneapolis, 1968), Ch. Ill, § 2.).

Метрическая аморфность, внутренне присущая пространственной непрерывности, становится в дальнейшем очевидной благодаря аксиомам пространственной конгруэнтности, после того как было установлено, что им должна быть дана пространственная интерпретация с помощью интервалов физического пространства 1 (1См. об ЭТИХ аксиомах: А. N. W h i t e h e a d, The Principle of Relativity, Cambridge: Cambridge University Press, 1922, Chap, iii, pp.42—50.).

Эти аксиомы предопределяют, что конгруэнтность (для интервалов) должна быть предикатом пространственного равенства, приписывая рефлективность, симметрию и транзитивность отношению конгруэнтности в классе пространственных интервалов. Однако, хотя и имеется такое предварительное использование понятия «конгруэнтный» и система аксиом тем самым уже не является неинтерпретированной, аксиомы конгруэнтности допускают еще бесконечное число взаимно исключающих классов конгруэнтности пространственных интервалов, и нужно ясно давать себе отчет, что любой определенный класс конгруэнтности есть некоторый класс из классов конгруэнтных интервалов, длины которых задаются определенной функцией расстояния

.

Мы только что видели, что не существует метрических атрибутов, внутренне присущих интервалам, на которые можно было бы сослаться при выборе одного из этих классов конгруэнтности в качестве уникального. Как же тогда мы можем говорить о том, что предполагаемое непрерывным физическое пространство имеет какую-то метрику, или mutatis mutandis предполагать, что физический временной континуум обладает уникальной метрикой? Ответ может быть только таким 2 (2Такое заключение, видимо, казалось необоснованным тем, кто, подобно Уайтхеду, отвергал «бифуркации природы», являющиеся предпосылками этого заключения. Далее в этой главе читатель найдет подробные возражения против утверждения Уайтхеда о том, что воспринимаемые пространство и время обладают внутренне присущими метриками, так что различие между физическим и воспринимаемым пространством (или временем) отвергается как незаконное и метрика, внутренне присущая физическому пространству и времени, может быть введена в них разумным образом) : именно выбор какого-то частного стандарта конгруэнтности, который является внешним по отношению к самому континууму, может определить уникальный класс конгруэнтности, жесткость, или самоконгруэнтность, стандарта которого при перемещении декретируется конвенцией; то же имеет силу для периодических устройств, представляющих изохронность (равномерность) хода часов.

Таким образом, роль пространственного или временного стандарта конгруэнтности не может быть истолкована вместе с Ньютоном и Расселом только как установление иным способом равенства, которое внутренне присуще интервалам, принадлежащим к классу конгруэнтности, устанавливаемому этим равенством. Если один из двух отрезков не является подмножеством другого, то получение отношения конгруэнтности между двумя отрезками есть вопрос соглашения, условия или дифиниции, а не вопрос фактуальный, относительно которого эмпирические данные могли бы показать, что мы ошибаемся. Следовательно, до получения физического условия конгруэнтности вообще не может быть и речи об эмпирически или фактуально определяемой метрической геометрии или хронометрии2 (2 Д'Абро (A. d'A b г о, The Evolution of Scientific Thought from Newton to Einstein, New York: Dover Publications, Inc., 1950, p. 27) ошибочно иллюстрирует тезис о конвенциональном характере метрики в континууме следующим образом: он рассматривает поток звуков, изменяющихся по высоте тона, и показывает, что критерий конгруэнтности, основанный на последовательных слуховых окта вах данной музыкальной ноты, находится в противоречии с конгруэнтностью, определяемой равными разностями между связанными частотами вибрации, поскольку разности частот между последовательными октавами не равны. Однако иллюстрация Д'Абро является не примером альтернативной метризации одного и того же математически непрерывного многообразия элементов, а примером метризации двух различных многообразий, причем только одно из них непрерывно в математическом смысле. Ибо содержание слуховых восприятий, составляющее отношение следующих друг за другом октав, представляет собой элементы только сенсорного «континуума». Кроме того, мы увидим далее в этой главе, что, будучи верным для математического континуума физического пространства и времени, элементы которых (точки и расстояния) соответственно одинаковы как в качественном, так и в количественном отношениях, тезис о конвенциональном характере метрики нельзя распространять вопреки Риману и Д'Абро на все виды математического континуума.).

В случае геометрии задание интервалов, которые по соглашению должны быть конгруэнтными, осуществляется при помощи функции расстояния ;

конгруэнтными будут те интервалы, которые, согласно этой функции, будут характеризоваться равными длинами. Во всяком случае, интервалы, определяемые совпадениями перемещающегося стержня, не испытывающего «деформирующих воздействий», или являются такими, которым функция расстояния приписывает равные длины ds , или они вовсе не зависят от нашего выбора функции gik. Таким образом, если компоненты метрического тензора gik подобраны соответствующим образом в любой заданной системе координат, то перемещающийся стержень, по предположению, должен быть всюду конгруэнтен самому себе независимо от своего положения и ориентации.

С другой стороны, при соответствующем выборе иных функций gik длина ds перемещающегося стержня может не быть постоянной, а меняться с изменением положения и ориентации. Коль скоро посредством функции расстояния ds установлена конгруэнтность, тем самым определяются и геодезические (прямые линии), связанные с данным выбором конгруэнтности1 (1 Геодезические называются «прямыми линиями», когда их отношения рассматриваются в рамках синтетической геометрии. Однако из этого отождествления не следует, что на поверхности, отличной от евклидовой плоскости, любая геодезическая связь между любыми двумя точками является линией, выражающей кратчайшее расстояние между ними. Поскольку мы не собираемся ограничиваться евклидовой геометрией, наличие геодезической связности есть только необходимое, но не достаточное условие существования кратчайшего расстояния; «верно, что кратчайшее расстояние между двумя точками P и Q на сфере задается по геодезической, представленной дугой большого круга. Но существуют две дуги большого круга между двумя точками,, и только одна из них является кривой наименьшей длины, исключая тот случай, когда Р и Q являются концами диаметра и обе дуги имеют одинаковую длину. Этот пример со сферой показывает также, что не всегда верно, что через две точки проходит только одна геодезическая: если Р и Q являются концами диаметра, то любой большой круг, проходящий через Р и Q, является геодезической и дает решение проблемы нахождения кратчайшего расстояния между этими двумя точками» (см.: D. J. S t r u i k, Classical Differential Geometry, Cambridge: Addison-Wesley Publishing Co., 1950, p. 140). Однако в том случае, «если две точки на поверхности таковы, что через них проходит только одна геодезическая, длина отрезка геодезической является кратчайшим расстоянием на поверхности между этими двумя точками» (L. P. Eisenhart, An Introduction to Differential Geometry, Princeton University Press, 1947, Sec. 32, p. 175). О достаточных условиях того, чтобы геодезическая связь выражала минимальное или кратчайшее расстояние, см.: О. В о 1 -z a, Lectures on the Calculus of Variations (New York: G. E. Ste chert, 1946), Chap. Ill, §§ 17—23 включительно, и N. I. A k h i e -z e г, The Calculus of Variations (New York: Blaisdell Publishing Co., 1962), Sec. 3, 4, 15.), так как семейство геодезических определяется вариационным условием , имеющим вид дифференциального уравнения, решение которого есть уравнение семейства геодезических 1 (1 В дифференциальном исчислении существует проблема определения максимума и минимума (экстремума) функции .

Необходимым условием существования экстремума в точке является

в точке.

Далее, в нашем случае вариационное исчисление имеет дело с подобной, но более сложной проблемой: найти функцию являющуюся уравнением семейства геодезических линий, такую, что определенный интеграл , взятый по функции, будет минимальным или относительно минимальным, то есть экстремальным для малых вариаций, которые обращаются в нуль на границах интегрирования. Мы рассматриваем как функцию функции, так как первый зависит от контура по которому берется интеграл. По аналогии с условием для экстремума в дифференциальном исчислении условие для семейства геодезических в вариационном исчислении есть .

Представляя ds как I dx , можно показать в вариационном исчислении (см.: Н. М а г g e n a u and G. M. Murphy, The Mathematics of Physics and Chemistry, New York: D. Van Nostrand Co., 1943, pp. 193—195), что это условие выражается дифференциальным уравнением, известным под названием уравнения Эйлера

где символ обозначает частную производную в отличие от символа вариации.

В качестве простой иллюстрации рассмотрим проблему нахождения геодезических евклидовой плоскости.

Метрика задана: .

Ее можно переписать в виде .

Если минимален, то уравнение Эйлера должно удовлетворяться для случая

. Следовательно, мы имеем , где m есть константа, или . Как и ожидалось, это есть уравнение семейства прямых.).

Геометрия, характеризующая отношение рассматриваемых геодезических, определяется аналогичным образом посредством функции расстояния ds, потому что гауссова кривизна К всякого элемента поверхности в любой точке пространства задается посредством функций gik , являющихся составной частью функции расстояния ds.

Поэтому существуют альтернативные метризации тех же самых фактуальных отношений совпадения перемещаемого стержня, и некоторые из этих альтернативных определений конгруэнтности приводят к различным метрическим геометриям. Поэтому посредством соответствующего определения конгруэнтности мы свободны выбрать в качестве описания данной совокупности пространственных фактов любую метрическую геометрию, совместимую с существующей топологией. Более того, в разделе Б третьей главы мы увидим, что существует бесконечно много несовместимых определений конгруэнтности, которые обеспечивают выбор любой из метрических геометрий, евклидовой или неевклидовой.

Мы говорим об альтернативных «определениях» конгруэнтности. В частности, мы будем ссылаться на одно из этих определений, которое задается с помощью недефор-мируемого стержня, как на «обычное определение» конгруэнтности. Однако можно возразить, что такие понятия, как обычное понятие пространственной конгруэнтности, являются понятиями «множества критериев» в противоположность понятиям «одного критерия»: конгруэнтные пространственные интервалы в инерциальной системе можно было бы «определить», например, как интервалы, для прохождения которых в один конец или туда и обратно световому лучу требуется одинаковое время, и это определение было бы столь же возможным, как и определение посредством совмещения недеформируемых передвижных стержней. На это возражали, что логически неверно говорить о введении определения конгруэнтности в духе «координативного определения»2 (2 Согласно Рейхенбаху, в отличие от обычных логических определений понятий через другие понятия, в физике пользуются другими определениями, а именно, то или иное понятие определяется через сопоставление с ним определенного предмета или процесса действительности. Такие определения он называет координатив-ными. См. «The Philosophy of Space and Time», § 4.— Прим. перев.) Рейхенбаха, поскольку никакой физический критерий, такой, например, как основанный на твердом стержне, не может обеспечить исчерпывающим образом действительное и потенциальное физическое значение понятия пространственной конгруэнтности в физике. Но при этом возражении упускают из виду, что наши ссылки на то или иное «определение» конгруэнтности в пределах множества взаимно исключающих «определений» конгруэнтности не приводит нас к грубо операционалистскому утверждению, что любое частное «определение», выбранное ученым, исчерпывающим образом характеризует «данное значение» пространственной конгруэнтности в физической теории. Ибо нас интересует возможность альтернативной метризации пространственного континуума, которую подчеркивал Риман, и вытекающий отсюда конвенциональный характер конгруэнтности. И мы вполне отдаем себе отчет в том, что физика предоставляет нам класс совместимых критериев конгруэнтности, а не только один такой критерий. Следовательно, когда в данной ситуации мы говорим об «определении» конгруэнтности, мы понимаем под «определением» такую характеристику, которая использует тот или иной критерий для выбора определенного класса конгруэнтности из бесконечного множества взаимоисключающих классов конгруэнтности. Таким образом, повсюду в этой книге мы будет говорить об «определении» конгруэнтности, в сущности не ставя под сомнение то, что пространственная конгруэнтность в физике есть открытое понятие, характеризуемое многими критериями в следующем смысле: имеется потенциально растущее множество совместимых физических критериев, а не только один-единственный критерий, посредством которого любой класс пространственной конгруэнтности (то есть класс, обычный для элементарной физики) может быть отделен от всякого другого класса конгруэнтности. Указывая ранее, что вопрос о пространственной и временной конгруэнтности убедительно рассмотрен в римановой теории непрерывных многообразий, мы говорили, что эта теория не выдерживает пристального критического анализа как теория, характеризующая непрерывные многообразия вообще. Чтобы подтвердить это обвинение и сделать его более веским, мы покажем сейчас, что непрерывность не может рассматриваться, следуя Риману, как достаточное основание метрической аморфности, внутренне присущей любому многообразию вне зависимости от характера его элементов. Ибо, как верно заметил Рассел, существуют непрерывные многообразия, такие, как многообразие цветов (частот спектра в физическом смысле), где составляющие элементы качественно отличаются один от другого и имеют присущую им величину, позволяющую проводить метрическое сравнение самих элементов. Напротив, в непрерывных многообразиях пространства и времени ни точки, ни отрезки не имеют внутренне присущей им величины, которая позволяла бы проводить индивидуальное метрическое их сравнение, так как все точки и отрезки подобны. Следовательно, в таких многообразиях метрически можно сравнивать только интервалы между элементами, но не сами однородные элементы. Непрерывность этих многообразий гарантирует тогда то, что метрика для их интервалов не является внутренне им присущей.

Чтобы в дальнейшем обнаружить отношение характера элементов непрерывного многообразия к возможности существования в нем внутренне обусловленной метрики, я сопоставляю вопрос о метрике в ' пространстве и времени с вопросом о метрике как 1) в континууме действительных чисел, расположенных по величине, так и 2) в квазиконтинууме масс; причем масса рассматривается как свойство тел в ньютоновом смысле, уточненном определением Маха1 (1 Краткую оценку этого определения см. в: L. Page, Introduction to Theoretical Physics, New York: D. Van Nostrand Company, 1935, pp. 56—58.).

Приписывание действительных чисел точкам в физическом пространстве посредством введения обобщенных криволинейных координат производит только координацию, но не метризацию многообразия физического пространства. Сравнение точек по величинам их координат-знаков, выраженных действительными числами, не может иметь никакого информативного значения в метрическом отношении. Однако в пределах непрерывного многообразия, состоящего из самих действительных чисел, упорядоченных по величине, каждое действительное число отличается от другого и метрически сравнимо со всяким другим через посредство внутренне присущей ему величины. И измерение массы можно рассматривать как контраргумент против метрической философии Римана на основании следующих соображений.

В определении Маха ньютонова масса (гравитационная и инерционная) задается не как отношение массы частицы В массе стандартной частицы А, а как отношение величины ускорения частицы А, обусловленного частицей В, к ускорению частицы В, обусловленному частицей А. Коль скоро пространственно-временная метрика и тем самым ускорение фиксируются обычным путем, это отношение для любого отдельного тела В не зависит, между прочим, от того, как далеко расположены друг от друга А и В при их взаимодействии. Таким образом, любое подтверждение равенства (конгруэнтности масс) или неравенства масс двух тел имеет место независимо от степени их пространственного удаления. Множество промежуточных тел образует квазиконтинуум относительно двух отношений «обладать большей массой» и «иметь ту же самую массу», то есть они образуют порядок, который представляет собой континуум, за исключением того факта, что отдельные тела могут занять одно и то же место в этом порядке, подтверждая тем самым, что их массы находятся в отношении конгруэнтности. Без такого отношения равенства масс ab initio множество тел не образует даже квазиконтинуума. Мы завершаем метризацию этого квазиконтинуума посредством выбора единицы массы (то есть одного грамма) и используя сами числовые выражения отношений масс, которые получаются из эксперимента. Здесь нет сомнения в том, что отсутствует внутренняя метрика в смысле возможности решения, равна ли разность масс пары тел разности масс другой пары или нет. В полученном континууме действительных чисел, представляющих массы, сами элементы имеют внутренне присущую им величину, и, следовательно, их можно сравнивать, индивидуально определяя тем самым внутренне присущую им метрику. В отличие от точечных элементов пространства элементы множества тел не совсем подобны массе, и, следовательно, метризация квазиконтинуума, которую они определяют своими отношениями «обладать большей массой» и «иметь ту же самую массу», может принять форму прямого сравнения индивидуальных элементов этого квазиконтинуума, а не только интервалов между ними.

Если желательно провести пространственную (или временную) аналогию метризации масс, то следует взять в качестве множества, которое должно быть метризовано, не кон-иинуум точек (или отрезков), а квазиконтинуум всех пространственных (или временных) интервалов. Для того чтобы использовать такие интервалы в качестве элементов множества, подлежащего метризации, мы должны прежде всего иметь критерий пространственной конгруэнтности и критерий отношения «быть больше чем», с помощью которых можно было бы объединить интервалы в квазиконтинуум, который в свою очередь может быть метризован посредством задания числовых величин. Эта метризация будет пространственной или временной аналогией метризации масс.

<< | >>
Источник: А. Грюнбаум. Философские проблемы пространства и времени: Пер. с англ. Изд. 2-е, стереотипное. — М.: Едиториал УРСС. — 568 с.. 2003

Еще по теме Б. Риман:

  1. Підтримання об’єктів нематеріальних активів робочому стані.
  2. 44. Міжнародні механізми контролю задотриманням прав людини.
  3. 65. Нагляд прокурора за законністю провадження строків досудового слідства і тримання під вартою
  4. № 129. Договір довічного утримання.
  5. 47. Договір довічного утримання.
  6. § 6. Прийоми дослідження слідів динамічних властивостей-навичок для отримання криміналістичної інформації
  7. Отримання інформації із слідів перцептивних навичок
  8. Прийоми отримання інформації, яка відображена у слідах локомоційних ознак
  9. 7. Строки тримання під вартою.
  10. Порядок продовження строків тримання під вартою
  11. 29. Ухилення від сплати аліментів на утримання дітей.
  12. 29. Ухилення від сплати аліментів на утримання дітей
  13. 25. Поняття, загальна характеристика та особливості договору довічного утримання (догляду).
  14. § 5. Державний контроль за дотриманням законодавства про захист економічної конкуренції
  15. IV. Ревізія каси і контроль за дотриманням касової дисципліни
  16. 3. Адміністративне затримання.
  17. §1. Проблеми організаційного і правового забезпечення підтримання державного обвинувачення
  18. §2. Письмові акти прокуратури при здійсненні нагляду за дотриманням законності в місцях позбавлення волі
  19. 2.2.4. Актуальні проблеми підтримання прокурором державного обвинувачення в суді
  20. Б. Риман