О роли моделей в интерпретации теорий

В связи с развитием аксиоматического метода как способа построения формализованных знаковых систем развилась новая ветвь математики. Она называется теорией моделей и, согласно А. Тарскому, «может рассматриваться как часть семантики формализованных теорий».270

Способ построения формальной аксиоматической системы свидетельствует о том, что в ней достигнуто максимальное отвлечение от специфики предметных областей, которые в ней могуг быть отражены.

В результате этого все первичные, или исходные, термины, знаки некоторых объектов и операций над ними, все первичные аксиомы, теории и выводимые в такой системе теоремы (формулы) рассматриваются с точки зрения их взаимных отношений и связей и безотносительно к тому, что в них отображается. И хотя исторически и фактически аксиоматизация в математической логике развивалась как попытка формализовать некоторые математические (т. е. содержательные) системы,271 принципиально создалась возможность отделить процесс построения собственно аксиоматической системы от процесса выяснения того, что выражает такая система, какое содержание в ней отображается, каково в конце концов ее объективное содержание или значение.

Возможность чисто формального построения системы безотносительно к конкретному содержанию потребовала анализа проблем, возникающих при построении таких систем. Важнейшими из них являются проблемы: а) непротиворечивости, т. е. недопустимости в данной системе каких-либо двух формул, которые бы противоречили друг другу; б) независимости, т. е. недопустимости включения в число аксиом формул, выводимых из других аксиом; в) полноты, т. е. возможности на основе аксиом данной системы доказательства или опровержения любой формулы, построенной в терминах этой системы.

Наряду с анализом этих проблем и в поисках средств их анализа возникала потребность содержательного истолкования знаков, употребляемых в подобных системах, выяснения того содержания, которое в них заключено.

Таким образом, аксиоматический метод предполагает решение двоякого рода проблем: во-первых, проблем, которые связаны с исследованием непротиворечивости, полноты и независимости системы аксиом, и, во-вторых, проблем, связанных с необходимостью рано или поздно снять исходную формализацию путем рассмотрения реального или возможного содержания построенного вышеуказанным образом формализма, т. е. выяснения той предметной области, которую действительно отражает или может отражать исследуемая формальная система.

Для решения этих проблем оказался пригодным метод моделей, развитый в логико-математических работах в конце XIX и первой половине XX в. Метод моделей явился средством синтаксического и семантического анализа аксиоматических систем. Метод моделей, поскольку он выступает как вспомогательный способ установления непротиворечивости, полноты и независимости аксиом дедуктивных теорий, является способом выяснения того, насколько выполняются формальные условия истинности. Разрабатывая этот метод, А. Тарский, однако, неправомерно придает этому логическому приему слишком широкое гносеологическое значение, что связано с его позитивистской концепцией истины. В этой концепции вопрос об истинности системы считается решенным, если она полностью удовлетворяет этим формальным условиям или правилам формализации и доказательства. Он пишет: «... современная методология предписывает заменять субъективную оценку при рассмотрении определений и доказательств критерием объективного характера и выносить решения относительно правильности определений и доказательств исключительно в зависимости от их структуры, т. е. от их внешней формы».272

Конечно, формальные условия истинности, т. е. правила определений и доказательств, не являются субъективными, они, как и другие методические правила, отвечающие объективным законам реального мира, являются в этом смысле объективными. Однако позитивисты, к числу которых принадлежит и Тарский, под объективностью понимают не соответствие с объективной реальностью и независимость от сознания, а однозначность логической формы знания в результате применения всеми людьми одинаковых правил, принятых по соглашению. Более того, уже в самой логике имеются явные указания на неправильность сведения проблемы истинности аксиоматических теорий к согласию

с формальными условиями и требованиями их построения. Об этом говорит теорема Гёделя о неполноте, означающая фактически невозможность чисто формальными средствами решать проблему объективной истины и необходимость апелляции в конце концов к свойствам объективной действительности и к критерию практики.

Однако в рамках решения более узкой задачи, выяснения формальных условий истинности и исследования структуры и возможных вариантов развития теории, доказательство внутренней непротиворечивости имеет большое значение для принятия, а обнаружение противоречивости — для опровержения данной теории.

Метод моделей является важным вспомогательным средством решения этих проблем. Суть этого метода состоит в том, что дл*Г' исследования непротиворечивости какой-нибудь формальной аксиоматической теории задается ее модель. При этом под моделью аксиоматической теории понимают просто систему объектов, взятую из некоторой другой теории и удовлетворяющую аксиомам данной теории.274 Часто и саму эту теорию, предметная область которой берется в качестве модели первой теории, тоже называют моделью, что, на наш взгляд, является неудачным и не позволяет раскрыть ни специфику, ни функции интерпретации. Говоря, что модель — это не теория, а система объектов, следует подчеркнуть, что здесь речь идет об идеализированных объектах, которыми могут быть, например, системы, состоящие из натуральных чисел, отрезков, высказываний, классов и т. д.,275 так как только о таких объектах можно говорить, что они полностью удовлетворяют аксиомам данной теории.

Само собой разумеется, что условием эффективности этого метода является не только изоморфизм между моделями теорий, но и выполнимость каждой теории в соответствующей модели, так что имеет место отношение, которое можно наглядно представить в виде следующей схемы:

изоморфна

Теория I Теория II изоморфна

Модель теории I

Модель теории II

При этом выполнимость теории в моделях определяется условиями построения аксиоматических теорий, а изоморфизм моделей — некоторыми объективными свойствами самих моделей.276

Использование модели как способа доказательства непротиворечивости некоторой теории состоит в том, что модель данной теории сопоставляется с моделью другой теории и если оказывается, что модели изоморфны друг другу, то соответствующие теории, которым удовлетворяют изоморфные модели (или реализациями которых эти модели являются), обладают одинаковой логической структурой.

В описываемом методе модель, будучи средством доказательства непротиворечивости, полноты данной теории, является одновременно и орудием сравнения и анализа логической структуры различных теорий.

Необходимо указать, что в истории научного познания этот метод действительно использовался с большим успехом. Так, например, непротиворечивость геометрии Лобачевского была доказана Ф. Клейном на модели, построенной в терминах геометрии Евклида путем соответствующей интерпретации («переименования») терминов гиперболической геометрии. Для доказательства непротиворечивости геометрии Евклида необходимо построить соответствующую ей арифметическую модель. Возможность построения такой модели была замечена в открытии метода координат Декартом, показавшим изоморфизм основных геометрических образов (прямых, плоскостей, кривых и т. п.) и их аналитических интерпретаций (моделей) в терминах алгебры и анализа. Используя методы аналитической геометрии, можно интерпретировать систему аксиом геометрии в пределах арифметики, и наоборот, система аксиом арифметики может быть интерпретирована на геометрической модели.

Таким образом, метод моделей был фактическим способом обоснования новых теорий в математике, приемом доказательства их непротиворечивости, так как противоречие в одной теории порождало бы противоречие в другой, как отсутствие противоречий в одной свидетельствует о таком же свойстве другой.

Подобные же отношения существуют и между различными логическими теориями, и применение здесь метода моделей весьма плодотворно для обобщений подобных закону дедукции (теорема дедукции).

177

12 В. А. Штофф

Как показало развитие кибернетики, имеется возможность при определенных условиях путем соответствующей интерпретации исчисления высказываний из теорем этой логической теории получить теоремы теории электрических цепей и релейно-кон- тактных схем, принадлежащие области электротехники. «Теория моделирования логических исчислений является важным источником методов анализа и синтеза релейных систем и имеет первостепенное значение для создания логических машин»,278 — говорит В. И. Шестаков, посвятивший ряд работ исследованию связи между логическими операциями в различных исчислениях ц переключательными операциями в релейыо-контактных схемах.

В целом же развитие современной формальной (математической) логики и кибернетики показало возможность моделирования на соответствующих устройствах не только исчисления высказываний, но и других формальнологических теорий.

Такое моделирование логических исчислений позволяет использовать различные логические системы для решения тех или иных технических задач и указывает на сферу практического применения логических теорий. Вместе с тем моделирование выступает как способ обнаружения объективного содержания таких теорий, т. е. практического доказательства того, что они являются не произвольными построениями, а своеобразными отображениями имеющихся в объективном мире связей и отношений. Совершенно прав Э. Кольман, подчеркивая возможность моделирования неаристотелевых формальных логик, построенных «подобно неевклидовым геометриям непроизвольно, не просто как игра ума, а так, чтобы они имели или могли получить отвечающее действительности истолкование».279

Следует обратить внимание на тот факт, что употребление метода моделей для интерпретации аксиоматической системы всегда покоилось на том допущении, что доказательство непротиворечивости некоторой системы на модели верно лишь в том случае, если непротиворечива модель. Но, как хорошо известно в логике и математике, из теоремы Гёделя, а в философии — из принципов теории отражения, не может быть такой системы или такой модели, в отношении которых могли быть доказаны непротиворечивость, полнота и независимость аксиом только из их собственного формализма без всякого обращения к другим (как говорят, предшествующим) дисциплинам или системам, без обращения в конечном счете к практике, опыту.

Развитие аксиоматического метода, его успешное применение в ряде отдельных областей .и в особенности метод моделей указывают на невозможность ограничиться чистым формализмом в построении здания науки в целом. Метод моделей предполагает не только общность логической структуры разных теорий, но и различие предметных областей этих наук, а это последнее связано с тем самым содержанием, от которого мы сначала отвлекались.

"Отсюда следует, что метод моделей имеет значение не только как средство анализа логической структуры аксиоматических теорий и способ доказательства непротиворечивости, полноты (или вообще исследования теорий с этой точки зрения). Он вместе с тем в той или иной степени указывает на пути не просто содержательной интерпретации формализованной теории,

но и на ту область явлений объективного мира, которую данная теория отображает. Он имеет, следовательно, не только логиче^ ское, но и гносеологическое значение, выводя из области чистой логики, чистых формализмов в область предметную, содержательную и подводя непосредственно к проблеме отношения теории к объективной действительности.

Здесь мы подходим вплотную к выяснению одной из важнейших функций, которую выполняют модели в дедуктивных науках, в теориях высокого уровня абстрактности, являясь орудиями семантической интерпретации подобных теорий.

Интерпретация, применяемая в дедуктивных науках, обычно подразделяется на два вида: эмпирическую и семантическую. В своем интересном и содержательном анализе проблемы интерпретации в дедуктивных науках С. Б. Крымский справедливо отличает так называемую естественную интерпретацию, основанную на интуитивном отнесении некоторой теории к наблюдаемым явлениям, от строгой интерпретации, свойственной теориям высоких уровней абстрактности.280 Вследствие формального, абстрактного характера таких теорий становится невозможным прямое сопоставление их терминов, понятий и утверждений с непосредственно данной в опыте объективной реальностью. Процесс сопоставления абстрактных теорий с объективной действительностью усложняется, и поэтому процедура интерпретации требует соответствующей формализации. Это достигается двумя путями. В эмпирической интерпретации решается вопрос, каким образом понятия теории и термины теоретического языка связаны с эмпирическим содержанием. «Эмпирическая интерпретация осуществляет перевод знания из теоретической сферы на уровень эмпирического языка, т. е. на язык экспериментов. Эмпирическая интерпретация есть поэтому такое определение терминов теоретической системы, гюгда в качестве их значений выступают экспериментальные результаты наблюдения определенных объектов, которые рассматриваются как „факты" или „денотаты", именуемые соответствующими терминами нашей системы».281

Однако эмпирическая интерпретация по меньшей мере неполна, так как ограничивается только установлением соответствия выводимых из теории следствий с непосредственными наблюдениями экспериментально регистрируемых эффектов (показания приборов), и, таким образом, объективное содержание исходных теоретических терминов, понятий, утверждений теории не раскрывается или, как говорят физики, физический смысл подобных теорий остается неясным. Многие позитивисты, как

. например Р. Карнап, считают, что наука может ограничиться эмпирической интерпретацией, так как не существует никакой возможности выйти за пределы наблюдений и восприятий. , Объявляя подобный выход метафизикой, они фактически отрицают возможность установить объективное содержание абстрактных научных теорий, таких, например, как квантовая электродинамика, квантовая механика, релятивистская теория тяготения, релятивистская космология и т. п., так как теоретические термины и абстрактные понятия этих теорий не имеют своих наблюдаемых непосредственно эквивалентов. Отсюда и проистекает свойственное значительной части позитивистов отрицание \ семантической интерпретации в смысле отыскания объектов, не \ данных непосредственно в опыте, но существующих объективно, > к которым могут быть отнесены исследуемые теории, их понятия и термины с помощью промежуточных моделей. К таким же гносеологическим выводам приходит и операционализм с его требованием ограничиться только лишь операциональными определениями терминов, т. е. определениями, указывающими на экспериментальные операции и процедуры измерений, с помощью которых устанавливается эмпирическое значение соответствующих теоретических терминов.

Очевидно, что неполнота эмпирической интерпретации, воз-\ водимая в абсолют, есть источник агностицизма. Преодоление не-1 полноты и ограниченности эмпирической интерпретации происходит при помощи семантической интерпретации. Интерпретация при помощи моделей, или моделирующая интерпретация, как называет ее С. Б. Крымский, является важной формой семантической интерпретации. Благодаря тому что условия построения модели для теории и соотнесения модели с реальными объектами точно фиксированы (в частности, с помощью метода аналогии), моделирующая интерпретация является достаточно строгой.

В такой интерпретации модель и является промежуточным^ звеном от теории к действительности, она помогает перебросить^'* мост от первой ко второй, позволяет наметить, по крайней мере в общих чертах, применимость той или иной теории на практике в той или иной области действительности и вместе с тем указывает на пути и способы экспериментальной проверки теории, а следовательно, тех допущений, условий, гипотез, которые содержались в ней в качестве аксиом и теорем.

Если мы в качестве примера возьмем аксиомы евклидовой геометрии, то увидим, что они представляют собой некоторые суждения относительно таких объектов, как «точки», «прямые» и «плоскости». Однако в физическом мире таких объектов нет. Поэтому геометрию нельзя рассматривать как теорию, непосредственно описывающую объекты физического, материального мира, ее теоремы строго выполняются лишь по отношению к не- которым идеализированным объектам. Эти идеализированные объекты — «точки», «прямые», «плоскости» и отношения между ними (отношения принадлежности, порядка, конгруэнтности, параллельности) представляют собой идеальную и идеализированную модель, в которой точно выполняются все указанные аксиомы так, что мы можем говорить о выполнимости аксиом и теорем геометрии в ее модели, т. е. в некоторой системе идеализированных объектов. Когда же мы утверждаем, что геометрия Евклида описывает реальное трехмерное пространство материального мира, мы предполагаем, что имеется соответствие между этой моделью и определенной частью объективного мира и это соответствие имеет характер гомоморфизма. Иными словами, мы предполагаем, что аксиомы и теоремы геометрии непосредственно описывают модель, которая состоит из идеализированных объектов, и благодаря гомоморфизму этой модели и реальной действительности описывает также эту последнюю. Модель здесь выступает как опосредующее звено, находящееся между теорией и реальным миром, его свойствами.

Разбирая смысл утверждения, что трехмерное пространство имеет евклидов характер, А. Эйнштейн и JI. Инфельд пишут: «Смысл этого в том, что все логически доказанные положения евклидовой геометрии могут быть также подтверждены действительным экспериментом. С помощью твердых тел или световых лучей мы можем построить объекты, соответствующие идеализированным объектам евклидовой геометрии. Ребро линейки или световой луч соответствуют прямой. Сумма углов треугольника, построенного из тонких жердей, равна 180 градусам. Отношение радиусов двух концентрических окружностей, построенных из тонкой упругой проволоки, равно отношению длин окружностей. Истолкованная таким образом евклидова геометрия становится главой физики, хотя и очень простой ее главой».282 Таким образом, при помощи модели утверждения геометрии получают такую семантическую интерпретацию, благодаря которой они приобретают не вообще содержательный, а именно физический характер, т. е. становятся физическими утверждениями о пространственных свойствах реального физического мира, вернее, его определенной части. Благодаря этому геометрические системы сопоставимы с явлениями объективного мира и могут подвергаться экспериментальной и вообще практической проверке с точностью до измерений. Это дает возможность говорить об истинности геометрической теории не только с точки зрения формальных условий (непротиворечивости и т. п.), но и о ее объективной истинности в том смысле, что в ее утверждениях отражаются независимые от наблюдения и способа мышления объективные отношения вещей.

Несколько сложнее, хотя в принципе так же, дело обстоит в случаях неевклидовых геометрий. Там модель выполняет функцию физической интерпретации в тесной связи с функцией математической интерпретации. Модель Ф. Клейна, с одной стороны, помогла доказать непротиворечивый характер гиперболической геометрии, но, с другой стороны, дала некоторые указания на то, какой может быть структура объективной реальности, описываемая этой геометрией. Такую же двойную функцию выполняет модель Е. Бельтрами, хотя (логическую) математическую интерпретацию она дает только для части геометрии Лобачевского.

Физическую интерпретацию геометрии Римана дает модель «искривленного» четырехмерного мира Эйнштейна, в которой выполняются все аксиомы этой геометрии, и в частности, аксиома о параллельных. В этой модели, в которой неевклидовый характер пространства-времени связан с особенностями поля тяготения, должны происходить такие явления, как например искривление луча света в поле тяготения. (Движение луча происходит по кратчайшему пути, но вследствие неевклидовости структуры пространства-времени, удовлетворяющей аксиомам римановой геометрии, движение световых лучей воспринимается как искривление). В модели учитывается влияние поля тяготения на структурные особенности пространства-времени и благодаря этому на характер траекторий световых лучей, и, таким образом, в ней отражается различие между распространением света в отсутствие поля и в неоднородном гравитационном поле. В последнем случае по аналогии с распространением света в неоднородной преломляющей среде световые лучи будут искривляться.

Эта модель дает возможность экспериментальной проверки теории. Известно, что Эйнштейн предсказал эффект отклонения луча света в поле тяготения Солнца и этот эффект был неоднократно наблюдаем, а измерения дали хорошее совпадение с предсказаниями на основании теории и соответствующей модели.283

Модель дает физическую интерпретацию не только математической теории, математического формализма. Она используется для содержательной интерпретации теорий математической физики, когда они представляют собой системы уравнений. Такой теорией, требовавшей содержательной интерпретации, была, например, теория Максвелла, по поводу которой Герц в свое время весьма решительно заявил: «На вопрос, „что такое

теория электромагнитного ноля Максвелла?", я не знаю более короткого и определенного ответа, чем такой: теория Максвелла—это система уравнений Максвелла».284 В данной связи мы не будем оценивать пригодность тех или иных моделей для этой цели и не будем касаться вопроса о специфике этой функции моделей в разных физических теориях; отметим только, что модели как классической, так и современной физики (модели электромагнитного поля,285 идеального газа, атома, молекул, химической связи, ядра и т. д.) при всех их различиях равно преследовали цель физической интерпретации теории, тем самым становясь необходимым звеном в процессе отнесения теории к действительности, ее экспериментальной проверки и вообще в установлении связи теории с практикой.

Выясняя функцию моделей как средства интерпретации формальных теорий (формализмов, исчислений, систем уравнений и т. д.), мы еще раз (см. также гл. II) должны подчеркнуть принципиальное отличие материалистического понимания этой функции от ее субъективно-идеалистической трактовки неопозитивистами, говорящими о модели, как о промежуточном звене (Р. Карнап, Е. Хаттен, Г. Мейер и др.) В то время как для них интерпретация посредством моделей выполняет семантическую функцию в смысле интерпретации теории в терминах опыта, понимаемого субъективистски, и является промежуточным звеном между формальными знаковыми системами и чувственными . данными, для нас модель есть в этой функции средство связи * теории с объективной действительностью. Модель позволяет так охарактеризовать физическое содержание или раскрыть физический смысл теории, что одновременно формулируются условия точной экспериментальной проверки исходной теории. Поясним сказанное выше следующей схемой:

Логическая структура теорий I, II (формальная теория) интерпретация семантическая

интерпретация семантическая

Содержательная теория I

Содержательная теория II Модельная интерпретация теории I (идеализированная система)

Фрагмент действительности А

л

Модельная интерпретация теории II (идеализированная система)

Фрагмент действительности В Единство мира

Правильность материалистического понимания модели как звена между теорией и практикой, как средства, помогающего связать теорию с объективной действительностью, подтверждается тем, что в ряде случаев идеальная модель не только указывает на то, в каких условиях проводить эксперимент (от каких влияний следует изолировать наблюдаемое явление, какие величины и параметры измерять и т. д.), но и превращается в ходе исследования в материальную, вещественную модель. Экспериментальное исследование вещественной модели, будучи особой формой эксперимента (см. гл. III), является следующим звеном в цепи, связывающей теорию с действительностью и выводящей теорию из сферы идеального в сферу реального, материального. Здесь одно из подтверждений важной мысли В. И. Ленина о превращении идеального в реальное.286

До сих пор мы рассматривали модель в качестве средства интерпретации теории в направлении, идущем от теории к действительности. Теперь рассмотрим значение модели как интерпретации наблюдаемых явлений в направлении, идущем от действительности к созданию теории о ней.