Символическая логика (основные допущения и определения)

Современная логика — это символическая логика124. Ее назначение выражает следующее определение:

Символическая логика — это теория исчислений.

Исчислением принято называть формальный алгоритм построения новых символических объектов из заданных.

В настоящее время символическая логика представляет достаточно обширную и дифференцированную совокупность теорий и исследований. Тем не менее, можно выделить логику высказываний (ЛВ) и ее расширение — логику предикатов (ЛП) в качестве общего базиса.

Классическая символическая логика включает: (1)

синтаксис — правила построения формализованного языка; (2)

семантику — правила интерпретации выражений построенного языка как осмысленных; (3)

правила вывода — правила, позволяющие из посылок умозаключений выводить необходимые следствия.

Отметим, что эти части являются каноническими не только для классической, но и всех неклассических логик.

Отличают оба вида логик друг от друга следующие два допущения: • (1)

Значение истинности неквалифицированных высказываний однозначно определяется значением истинности образующих их простых (атомарных) высказываний. (2)

Высказывания, имеющие одно и то же расширение (один и тот же объем или одно и то же значение истинности), считаются эквивалентными.

Если логика выполняет оба допущения, значит, она является классической.

Логика высказываний

Основные определения и допущения

логики высказываний

Логика высказываний основана на определенных базисных понятиях и допущениях. Рассмотрим их последовательно. Исходным в ЛВ является понятие высказывания.

Высказывание ЛВ — предложение, выражающее простое или сложное суждение.

Утверждение «Бессмертная любовь, рождаясь вновь, нам неизбежно кажется другою» (В. Шекспир) обладает субъектом, предика- том, связкой и знаком количества и тем самым выражает (простое) суждение. Следовательно, оно является высказыванием ЛВ. Выражение «бессмертная любовь» не обладает атрибутами суждения и поэтому не является высказыванием ЛВ.

В отличие от традиционной логики и логики предикатов, субь- ектно-предикатная структура высказываний в ЛВ не принимается во внимание как не имеющая никакого значения для формализации доказательств.

Субъектно-предикатная структура высказываний в ЛВ не учитывается.

Единственное свойство высказываний ЛВ, которое принимается во внимание — это их способность быть истинными или ложными суждениями. Истину и ложь принято называть логическими значениями, или значениями истинности высказываний ЛВ.

Высказывание Л В истинно, если и только если истинно выражаемое им суждение. В противном случае высказывание ЛВ считается ложным.

Предложение «5 больше 3» — истинное высказывание, потому что выражаемое им суждение истинно. Предложение «3 больше 5», наоборот, ложное высказывание, потому что выражаемое им суждение ложно.

Вторым по значению и логике высказываний является понятие логического союза (связки).

В естественном языке логические союзы выражаются словами «не», «если то», «или», «либо ..., либо», «если и только если», «ни ни» и их многочисленными синонимами. С помощью логических союзов из простых высказываний образуются сложные высказывания.

Высказывание ЛВ считается сложным, если и только если оно содержит вхождение хотя бы одного логического союза.

Высказывание «Сегодня среда» — простое. Высказывание «Сегодня среда или четверо) — сложное, так как состоит из двух простых высказываний «Сегодня среда», «Сегодня четверг», соединенных союзом «или». Сложным будет высказывание «Неверно, что сегодня среда», так как оно представляет отрицание простого высказывания «Сегодня среда», с помощью логического союза «неверно, что».

В логике высказываний по соглашению допускается, что каждое простое высказывания либо истинно, либо ложно. При этом некоторые сложные высказывания, именно противоречивые высказывания, могут быть одновременно истинными и ложными.

Допущение бивалентности. Каждое простое высказывание ЛВ либо истинно, либо ложно.

Следует отметить, что в отличие от простых высказываний некоторые сложные, именно противоречивые высказывания, одновременно истинны и ложны. Ниже объясняется, почему такие высказывания называют логически ложными.

В логике высказываний также допускается, что логическое значение любого сложного высказывания однозначно определяется значениями истинности образующих его простых высказываний. Следовательно, значение истинности любого сложного высказывания представляет определенную функцию истинности значений истинности образующих его простых высказываний.

Значение истинности сложного высказывания ЛВ представляет функцию истинности значений истинности составляющих его простых высказываний.

Функции истинности представляют разновидность функций в обычном понимании — как правил, связывающих переменные, называемые аргументами функции, с другими, называемыми ее значениями. Аргументами и значениями функций истинности служат логические значения — истина и ложь. Например, логическое отрицание представляет одноаргументную функцию истинности в следующем смысле. Если высказывание «Сегодня среда» (аргумент функции отрицания) истинно (ложно), то ложно (истинно) высказывание «Неверно, что сегодня среда» (значение функции отрицания).

Синтаксис логики высказываний

Как и всякий язык, язык логики высказываний имеет определенный алфавит и правила построения с его помощью последовательностей знаков, называемых (правильно построенными) формулами.

Синтаксис ЛВ — алфавит и правила, определяющие: (1)

какие знаки входят в множество символов алфавита логики высказываний; (2)

какие последовательности знаков являются (правильно построенными) формулами ЛВ.

Правильно построенная формула ЛВ — последовательность знаков, которая может быть интерпретирована в качестве истинного или ложного высказывания. Для краткости далее термин «формула» везде употребляется в смысле «правильно построенная формула».

Алфавит логики высказываний

Алфавит логики высказываний

Таблица 1 1 Знаки для обозначения простых высказываний (атомарных формул) — прописные начальные буквы латинского алфавита. А В, С, 2 Знаки для обозначения логических союзов. 2.1. Знак логического отрицания: «неверно, что». —і 2.2. Знак конъюнкции: «и». & 2.3. Знак слабой дизъюнкции: «или». V 2.4. Знак импликации: «если ..., то». z> 2.5. Знак эквивалентности: «если и только если». = 2.6. Знак сильной дизъюнкции: «либо ..., либо». ? Полный алфавит ЛВ, необходимый для построения формул логики высказываний, задается следующим определением (табл. 1).

Окончание таблицы 1 3 Левая и правая скобки (для указания области действия логических союзов). О 4 Запятая (для разделения формул в посылках). > 5 Знак для обозначения отношения логического следования: «выводимо, следует». ь 6 Знак для обозначения логической лжи и замкнутой ветви дерева формулы. ? 7 Иных знаков, кроме указанных в п. 1-6, в логике высказываний нет. Пусть ф, (р, у; ... обозначают (мета)переменные, пробегающие по всему множеству высказываний JIB171. Это означает, что вместо каждой из букв греческого алфавита можно подставлять любое простое или сложное высказывание.

Правила образовании формул логики высказываний

Правила построения формул логики высказываний

Таблица 2 1 Простые высказывания А, В, С,... — формулы ЛВ. 2 Если ф— (не обязательно атомарная) формула, то -іф— тоже формула ЛВ. 171 Читается как «фи», «пси», «гамма».

В терминах заданного алфавита JIB конструируются формулы — символические эквиваленты простых и сложных высказываний, согласно следующему определению (табл. 2).

Окончание таблицы 2 3 Если ф и <р — (не обязательно атомарные) формулы, то высказывания (ф & <р), (ф v ф\ (ф з <р), (ф = <р), (ф ? (р) — тоже формулы ЛВ. 4 4.1. Атомарные формулы ЛВ со знаком отрицания или без него в скобки не заключаются. 4.2. В каждой формуле ЛВ со скобками число левых и правых скобок должно быть одинаковым. 5 Иных формул, кроме указанных в п. 1-4, в логике высказываний нет. Понятие подформулы

Некоторые части формулы сами являются формулами. В этом случае говорят о подформулах данной формулы. Например, подформулами формулы ({A & Я) з (Л v В)) являются формулы (А & В) и (A v В), формулы А и В, а также вся данная формула, так как считается, что она является частью самой себя.

Подформула — формула Л В, входящая в состав другой формулы Л В.

і Согласно определению формулы JIB, последовательность сим- ; волов {{А & (А з В)) з В) является формулой, а последовательности і символов (A v & В), (А) и (= В) нет.

В выражении ((/4 & (А з В)) з В) к числу формул принадлежат, во-первых, все ее атомарные подформулы — А и В, во-вторых, все ее неатомарные подформулы — (А з В), (А & (А з В)), включая и саму формулу ((А & (А з В)) з В), так как она также является подформулой самой себя.

В выражении (A v & В) переменные А и В соединены подряд логическими союзами v и &, что нарушает п. 3 определения формулы ЛВ, согласно которому все указанные там логические союзы являются бинарными. В выражении (А) атомарная формула А взята в скобки, что нарушает п. 4.1 определения формулы ЛВ. Выражение (= В) нарушает сразу два пункта определения формулы JIB — 3 и 4.1.

Главный логический союз

В каждой неатомарной формуле имеется логический союз, который считается главным. Если в формуле один логический союз, то он и является главным. Например, в формуле -лА единственным, и поэтому главным, логическим союзом является знак «—і». Соответственно формула А является подформулой формулы В формуле (А з (A v В)) главным логическим союзом является знак импликации, так как именно он при построении этой формулы вводится последним.

Главный логический союз неатомарной формулы Л В — союз, который при ее построении вводится последним.

Область действия логического союза

Каждый логический союз имеет определенную область действия, в качестве которой выступают все подчиняющиеся ему подформулы. Например, область действия знака отрицания в формуле -іА составляет подформула А, в формуле -і(А & В) — подформула (А & В). В формуле (A (A v В)) область действия знака нестрогой дизъюнкции образуют формулы А и В, область действия знака импликации — формулы А и (A v В).

Очевидно, что область действия главного логического союза составляют все подформулы данной формулы JIB.

Область действия логического союза образуют все подформулы данной формулы ЛВ, которые он связывает.

Формализация высказываний

Типичная синтаксическая задача — формализация высказываний. Алгоритм формализации следующий. В анализируемом высказывании сначала находят все простые высказывания. Каждое из них обозначается новым символом, если оно не эквивалентно ни одному из уже обозначенных высказываний. Затем ол- ределяют логические союзы, связывающие простые высказывания. Наконец, конструируется формула, каждая атомарная формула которой обозначает некоторое простое высказывание, а сама она выражает логическую структуру формализуемого высказывания. Чтобы сделать процесс формализации более понятным, рассмотрим несколько примеров.

Пример

«Поскольку всех счастливее в этом мире тот, кто довольствуется малым, то власть имущих и честолюбцев надо считать самыми несчастными людьми, потому что для счастья им нужно несметное множество благ» (Франсуа де Ларошфуко).

Простые высказывания: А ~ «Всех счастливее в этом мире тот, кто умеет довольствоваться малым», В = «Власть имущих надо считать самыми несчастными людьми», С = «Честолюбцев надо считать самыми несчастными людьми», D = «Для счастья им нужно несметное множество благ».

Логические союзы: гэ, &.

Формула: С))).

Семантика логики высказываний

Любая формула остается не более чем последовательностью абстрактных знаков, если нельзя установить, каков ее логический смысл. В логике высказываний формула считается осмысленной, если ей можно приписать в качестве логического значения либо «истину», либо «ложь». Процедуру задания значений истинности атомарных формул и вычисления значения истинности всей формулы принято называть интерпретацией.

Интерпретацией формулы ЛВ называется такое приписывание значений истинности всем ее атомарным подформулам, при котором каждая из них получает значение «истина» или значение «ложь» (но не оба вместе).

Анализ понятий «истина», «ложь», «значение», «смысл», обоснование правил интерпретации формул — основные задачи семантики как общего раздела логики. В этой работе анализ семантики

JIB ограничен формулировкой и обоснованием правил интерпретации формул.

Семантика ЛВ — правила интерпретации формул ЛВ как осмыслен' ных (истинных или ложных) высказываний.

Правила интерпретации форм/л ЛВ

Интерпретация произвольной формулы JIB совершается в два этапа. На первом определяются значения истинности всех ее атомарных подформул. С этой целью каждой атомарной подформуле сопоставляется определенное простое высказывание. На втором этапе вычисляется значение истинности всей формулы по определенным правилам (таблицам истинности).

Правила интерпретации формул ЛВ 1.

Каждой атомарной формуле интерпретируемой формулы ставится в соответствие определенное простое высказывание иэ универсума (области) интерпретации. 2.

Атомарной формуле приписывается значение «истина» или «ложь» в соответствии с тем, истинно или ложно выражаемое ею простое высказывание. 3.

Значение истинности всей интерпретируемой формулы Л В вычисляется как функция значений истинности всех своих атомарных формул (всех своих аргументов).

Логические союзы как функции истинности. Таблицы истинности

Допустим, даны две формулы (^з^и^ї (р). Чтобы вычислить значение их истинности, согласно п. 1 правил интерпретации сначала необходимо сопоставить их с простыми высказываниями. Пусть универсумом интерпретации служит множество натуральных чисел и ф— «5 больше 2», (р— «3 больше 4». Теперь согласно п. 2 правил интерпретации можно вычислить значение истинности атомарных формул фи <р. Известные правила арифметики однозначно вынуждают приписать формуле ф значение «истина», формуле q> — значение «ложь».

Так как формулы (ф з ф) и (ф ? (р) обозначают сложные высказывания, то для вычисления окончательного значения их истинности требуется применение п. 3 правил интерпретации. Для этого необходимо знаггь смысл соединяющих их логических союзов. Этот смысл задается следующими определениями (Т обозначает истину, F — ложь).

Определение логического отрицания

Логическим отрицанием формулы ф называется противоречащая ей формула -іф, которая истинна, если ф— ложна, и ложна, если ф— истинна.

Назовем таблицей истинности формулы ф функцию истинности ф всех своих атомарных подформул. При этом формула ф может быть как простым, так и сложным высказыванием.

Таблица истинности логического отрицания произвольной формулы ф имеет следующий вид (для наглядности указаны аргументы и значение каждой определяемой функции): Аргумент Значение Ф ^Ф Т F F Т Первый столбец таблицы (аргумент функции логического отрицания) указывает все возможные логические значения формулы ф. Второй столбец содержит соответствующие логические значения формулы -іф. Из таблицы следует, что логически отрицающие друг друга формулы не могут быть вместе ни истинны, ни ложны. Если одна из них истинна, то другая ложна, и наоборот. При этом формула ф может обозначать как простое, так и сложное высказывание.

Пусть ф = «Я читаю книгу». Тогда —>ф~ «Неверно, что я читаю книгу». Одно их этих высказываний необходимо истинно, а другое необходимо ложно.

Следующие логические союзы определяются для двух произвольных формул — ф и ф> так как все они представляют двухаргу- ментные функции истинности.

Определение конъюнкции

Конъюнкцией формул ф и q> называется формула {ф & <р), которая истинна, если истинны как ф, так и <р, и ложна во всех остальных случаях.

Таблица истинности конъюнкции двух произвольных формул ф и ф имеет следующий вид: Первый Второй Значение аргумент аргумент функции Ф <Р {ф&<р) Т Т Т Т F F F Т F F F F Каждая формула может быть либо истинной, либо ложной. Следовательно, для двух формул'мы имеем четыре возможности: ф и <робе истинны; ^истинна, но сложна; Сложна, но ^истинна; фи <р обе ложны. В общем, если имеется п формул, то существует 2" возможностей их истинности. Читая третий столбец, мы видим, что формула (ф& ф) получает значение «истина» только в случае совместной истинности формул фн <р. Во всех остальных случаях она получает значение «ложь».

Формулы, соединяемые знаком конъюнкции, принято называть конъюнктами.

В формализованном языке перестановка местами конъюнктов не ведет к изменению логического значения формулы. Иными словами, формулы {ф & ф) w {(р 8l ф) эквивалентны (имеют одно и то же логическое значение). В естественном языке конъюнктивная связь часто выражает упорядоченную последовательность собы- тий, и перестановка местами ее членов искажает смысл всего высказывания. Высказывания «Я почистил зубы и лег спать» и «Я лег спать и почистил зубы» вряд ли кто-нибудь посчитает эквивалентными.

Определение слабой дизъюнкции

Слабой дизъюнкцией формул ф и <р называется формула (ф v <р), которая истинна, если истинна хотя бы одна из них, и ложна, когда ложны как ф, так и <р.

Таблица истинности слабой дизъюнкции двух произвольных формул ф\\ <р имеет следующий вид: Первый Второй Значение аргумент аргумент функции Ф <Р (фч<р) Т Т Т Т F Т F Т Т F F F Формулы, соединяемые знаком (слабой и сильной) дизъюнкции, принято называть дизъюнктами.

Формула (ф v <р) ложна, если и только если ложны все ее дизъюнкты. Во всех остальных случаях она истинна. В отличие от конъюнкции дизъюнкты могут переставляться в любом порядке без потери смысла как в формализованном, так и в естественном языке.

Определение импликации

Импликацией формул ф и q> называется формула (ф з ф), которая ложна тогда, когда истинна ф и ложна <р, и истинна ва всех остальных случаях.

Таблица истинности импликации двух произвольных формул ф и (р имеет следующий вид: Первый Второй Значение аргумент аргумент функции Ф <Р (ф^ф) Т Т Т Т F F F Т Т V F т В формуле (ф z> (р) подформулу ф принято называть антецедентом (лат. antecedens — предшествующий), подформулу <р — консе- квентом (лат. consequens — следствие).

В естественном языке союз «если.,., то», кроме причинной связи, может выражать временною последовательность событий, связь условия и средства ее достижения, условие какого-либо договора или соглашения. Однако в логике высказываний данному союзу придается только то значение, которое зафиксировано таблицей: антецедент есть только достаточное условие истинности консе- квента, консеквент есть только необходимое условие истинности антецедента. Из-за такой асимметрии перестановка местами членов импликации в общем случае неправомерна.

Определение эквивалентности

Эквивалентностью формул ф и р называется формула (ф = <р), которая истинна тогда, когда формулы ф и <р обе истинны или ложны одновременно, и ложна во всех во всех остальных случаях.

Таблица истинности эквивалентности двух произвольных формул ф и (р имеет следующий вид: Первый Второй Значение аргумент аргумент функции Ф <Р ш

і і Т Т Т Т F F F Т F F F Т

Из таблицы следует, что формулы ф и (р эквивалентны, если и только если каждая из них необходима и достаточна для истинности другой формулы. Или, что то же, если истинны как прямая импликация (ф з <р), так и ей обратная (<р з ф). Значит, эквивалентные формулы JIB одновременно либо все истинны, либо все ложны. Если истинно (ложно), что сегодня понедельник, значит, истинно (ложно), что завтра будет вторник, послезавтра среда, вчера было воскресенье, позавчера была суббота и т. п.

Эквивалентные формулы могут переставляться местами без потери смысла высказывания, которое они образуют.

Определение сильной дизъюнкции

Сильной дизъюнкцией формул ф\л q> называется формула {ф ? <р), которая истинна тогда, когда либо формула ф истинна и формула <р ложна, либо формула ф ложна и формула <р истинна, и которая ложна во всех остальных случаях.

Таблица истинности сильной дизъюнкции двух произвольных формул ф и (р имеет следующий вид: Первый Второй Значение аргумент аргумент функции Ф <Р (Ф* <Р) Т Т F Т F Т F Т Т F F F Дизъюнкты формулы (ф ? (р) часто называют альтернативами, имея в виду, что один и только один дизъюнкт истинный, или что логическая сумма альтернатив образует полное множество.

Сильная дизъюнкция представляет собой логическое отрицание эквивалентности. В отличие от слабой, сильная дизъюнкциями запрещает одновременную истинность всех или некоторых дизъюнктов, кроме одного, а также запрещает их одновременную ложность.

Если значения истинности простых высказываний неизвестны, строят таблицу истинности исследуемой формулы. Такая таблица ничем не отличается от таблиц истинности логических союзов. Она представляет функцию истинности всех своих атомарных подформул.

Таблица истинности формулы -і(А & -і(В з С)) имеет следующий вид: А В С & - (В DQ) Т Т Т т F F Т Т Т ; F F т Т F Т F Т т F F Т т F F т F F т F Т Т т F F т F Т F т F Т F F F Т т F F Т F F F т F F Т 1 2 3 7 6 5 4 Объяснение. В исследуемой формуле имеется три простых высказывания — А, В и С. Значит, существует 23 = 8 возможных интерпретаций (строк) их значений лстинности. Первые три столбца (три аргумента функции) символизируют эти возможности. Например, первая строка таблицы говорит о том, что все три высказывания вместе истинны; восьмая строка — что они все вместе ложны.

Столбцы с четвертого по пятый указывают порядок и результат вычисления значения истинности подформулы, управляемой определенным логическим союзом. Каждый столбец размещается под тем логическим союзом, в область действия которого входит анализируемая подформула. Например, столбец (4) содержит значение истинности подформулы (В з С); столбец (5) — значение истинности подформулы -і(В з С); столбец (6) — значение истинности подформулы (А & —>(В з С)); заключительный столбец (7) — значение истинности всей формулы -п(А & -і(В з С)). Интерпретация данной формулы завершена. Каковы ее итоги?

Правильно построенная таблица истинности должна содержать все возможные интерпретации истинности и ложности рассматриваемой формулы. Анализ таблицы показывает, что исследуемая формула ложна только в той интерпретации, которую указывает вторая строка — атомарные формулы А, В истинны, атомарная формула С ложна. Во всех остальных интерпретациях указанная сложная формула истинна. Самую интересную интерпретацию представляет восьмая строка: все три атомарные формулы ложны, но формула в целом, тем не менее, истинна. Поскольку других интерпретаций нет и быть не может, мы получаем исчерпывающую информацию о логических свойствах исследуемой формулы.

Логически истинные, логически ложные и логически нейтральные формулы

Все формулы ЛВ делятся на два взаимно исключающих и совместно исчерпывающих класса — выполнимые и невыполнимые. Выполнимые формулы делятся далее на логически истинные и логически нейтральные. Формулы логики высказываний Выполнимые Невыполнимые Логически истинные (тавтологии) Логически нейтральные (правдоподобные) Логически ложные (противоречивые) Формула ЛВ считается выполнимой, если существует хотя бы одна интерпретация (набор значений истинности атомарных формул), в которой она истинна, и невыполнимой в противном случае.

Формула называется логически истинной, если она истинна во всех своих интерпретациях, т. е. при любых наборах значений истинности своих атомарных формул. Такие формулы также часто называют тавтологиями (от греч. tauto — то же самое и logos — высказывание), законами логики, логическими истинами, общезначимыми, тождественно истинными. Все тавтологии сводимы к виду v где на место ф может подставляться любая формула ЛВ.

Формула называется логически ложной (невыполнимой, противоречивой, тождественно ложной), если не существует ни одной интерпретации, т. е. набора значений истинности ее атомарных формул, в шторой она была бы истинна. Такие формула выражают логические противоречия. Все логически ложные формулы сводимы к виду (ф8с -лф), где на место ф может подставляться любая формула J1B.

Формула называется логически нейтральной, если существует хотя бы одна интерпретация, в которой она истинна, и хотя бы одна интерпретация, в которой она ложна. Это означает, что такие формулы не могут быть логически истинными и логически ложными. Они лишь относительно истинны и относительно ложны.

Отношение логического следования в логике высказываний

Отношение логического следования лежит в основании всей дедуктивной логики. Сказанное относится и к логике высказываний.

Пусть а и /? обозначают соответственно множества формул, образующих посылки и заключение доказательства в JIB. Тогда справедливо следующее определение.

Заключение (3 логически следует из посылок а, если и только если в каждой интерпретации (в каждой строке таблицы истинности формулы (аэ/S)), в которой истинно а, также истинно заключение Д

Основные законы логики высказываний

Одним из важных свойств логических истин является то, что они выражают законы логики — принципы сохранения истины. Хотя логических истин и, тем самым, логических законов существует бесконечное число, обычно выделяют некоторое конечное подмножество в качестве правил, позволяющих преобразовывать формулы.

Закон снятия двойного отрицания:

^ф^ф.

Двойное отрицание не изменяет начального значения истинности высказывания: если оно было истинным (ложным), то в результате двойного отрицания оно и остается истинным (ложным). Поэтому двойное отрицание всегда может быть снято и заменено обычным утверждением.

Законы коммутативности

(перестановочности) & и v:

(ф&<р) = (р&ф);

(Ф* Данные законы разрешают переставлять местами конъюнкты и дизъюнкты, так как это не изменяет значения истинности исходной формулы.

Законы ассоциативности (соединения) & и v:

((ф&ф)&у) = (<р&(ф&Я); ((^v Данные законы разрешают вычислять значение истинности формул, состоящих только из конъюнктов или дизъюнктов, в любом порядке, так как это не изменяет значения истинности исходной формулы. Например, безразлично, вычисляется ли сначала значение истинности высказывания (А & В), а затем высказывания {(А & 5) & С), или сначала высказывания (В & С), а затем высказывания (А & (В & С)). Аналогично для дизъюнктивной формулы.

Законы дистрибутивности (распределения) & относительно v, и наоборот:

(ф&(<рч = ((ф& ф) v (ф&

Законы дистрибутивности позволяют «выносить за скобки» формулы, входящие во все конъюнкты или во все дизъюнкты, а также совершать обратную операцию.

Законы идемпотентности (сохранения степени):

Согласно данным законам значение истинности сложных высказываний с многократным вхождением одного и того же конъюнкта (дизъюнкта) полностью определяется значением истинности одного конъюнкта (дизъюнкта).

Законы удаления =>, = и ?:

= ф). : (И ?)&(*>=> Л);

ІФ$Ф) = ((Ф=>-*<р) & (->?=) ш = ((^v->Согласно приведенным законам формулы, содержащие логические союзы з, = и могут равносильно заменяться на формулы, содержащие только логические союзы -і, & и V.

Законы де Моргана

(отрицания конъюнкции и дизъюнкции):

-л(ф&ф) =

Согласно законам де Моргана высказывание «Неверно, что сегодня ясно и (или) тепло» эквивалентно высказыванию «Сегодня не ясно или (и) не тепло».

Законы поглощения:

(ф&(фчф)) = ф; (фч(ф&ф)) = ф.

Согласно первому закону поглощения, конъюнктивная формула, в которой один конъюнкт ф логически более силен, чем другой (ф v ф), эквивалентна логически более сильному конъюнкту — ф. Согласно второму закону поглощения, дизъюнктивная формула, в которой один дизъюнкт ф логически слабее, чем другой (ф & ф), эквивалентна логически более слабому дизъюнкту — ф. Значит, всякая формула эквивалентна дизъюнкции своих самых слабых допущений и одновременно эквивалентна конъюнкции своих самых сильных следствий.

Законы исключения

(противоречащих конъюнктов и дизъюнктов):

р) -,$>)) з ?

((0V р) -,?>)) =

Согласно законам исключения, формула, чьи дизъюнкты (конъюнкты) имеют общий член ф и отличаются друг от друга только одной парой противоречащих подформул <р и —эквивалентна общей для них подформуле ф.

Перечисленные законы логики создают базис для развития более эффективного, чем таблицы истинности, метода решения логических задач логики высказываний. Этот метод развивает далее технику анализа, применявшуюся при решении силлогизмов традиционной логики.