4. Спорные аксиомы

Идея Геделя состояла в том, чтобы построить модель для ограниченной теории множеств (стандартной теории без аксиомы выбо- pa), и доказать, что в этой модели аксиома выбора и континуум- гипотеза являются теоремами. Использование аксиом ограниченной теории дает сначала существование по крайней мере одного множества, затем существование бесконечной последовательности конечных множеств, затем существование бесконечного множества, затем существование бесконечной последовательности еще больших бесконечных множеств и т.д.

Вопрос об интуитивной ясности таких аксиом теории множеств, как аксиома конструируемое™, отпадает сразу. Например, сразу возникает подозрение, что для признания некоторой совокупности множеством вряд ли необходимо настаивать на том, что множество должно быть сконструируемо согласно некоторой формуле. Универсум множеств, который конструируется по подобного рода формуле, универсум, сотворенный по рецепту Геделя, обозначается через L. Универсум множеств, полученный применением принципа рефлексивности, обозначается через V. Доказательство Геделем континуум-гипотезы требует аксиомы конструируемое™ V = L. Сам Гедель определил ситуацию следующим образом: «Имеются два совершенно отличным образом определенные классы объектов, которые удовлетворяют всем аксиомам теории множеств. Один класс состоит из множеств, определенных в некоторой манере свойствами своих элементов (L), другой — из множеств в смысле произвольных совокупностей независимо от того, как они определены (У). А теперь, до того, как будет установлено, какие объекты подлежат счету, и на основании какого одно-однозначного соответствия, едва ли возможно определить ИХ ЧИСЛО»109.

В более точном представлении результат Геделя выглядит так. Если ZFC (система Цермело — Френкеля с аксиомой выбора) непротиворечива, тогда непротиворечивой является система ZFC + V = L.

Так как V = L влечет континуум-гипотезу (СИ), ZFC + СН непротиворечива.

Так стоит или нет принимать эту аксиому? Среди ее несомненных преимуществ — доказательство континуум-гипотезы. Но может статься, что гипотеза несет в себе слишком много ограничений, а сама континуум-гипотеза будет доказана в другой системе аксиом. Действительно, «хотя аксиомы ZFC не могут доказать СН, нет ничего священного в этих аксиомах, и можно будет найти другие аксиомы, которые будут более ясными относительно нашего понятия множества и которые установят СН»110.

Сомнения относительно пригодности принятой в качестве стандартной системы аксиом Гедель переносит и на саму континуум- гипотезу. Так, «некоторые факты [неизвестные во времена Кантора] указывают на то, что канторовская догадка может оказаться неверной...»111 Правда, сомнения эти не вполне обоснованы, поскольку Гедель ссылается не столько на факты, сколько на интуицию. Эти интуитивные соображения не принимаются всеми за окончательный вердикт. Так, Д. Мартин замечает: «Гедель цитирует несколько фактов в качестве свидетельств против КГ. Он перечисляет некоторое число следствий континуум-гипотезы, которые полагает интуитивно неправдоподобными. Эти следствия утверждают, что существует каждое тонкое подмножество действительной прямой кардинальности континуума. Гедель говорит, что такие утверждения противоречат интуиции в другом смысле, нежели противоречие в интуиции относительно существования кривой Пеано. Хотя нельзя легкомысленно относится к интуиции Геделя, трудно понять, почему ситуация отлична от ситуации с кривой Пеано, и некоторым из нас трудно понять даже то, почему некоторые цитируемые Геделем примеры противоречат интуиции»112. Большая часть исследователей, вслед за Геделем, в настоящее время не верит в аксиому конструируемое™. Самой весомой причиной такого неверия является то, что она слишком ограничительна. Так, Д. Скотт свидетельствует: «Как бы ни были прекрасны геделе- вы так называемые конструируемые множества, они являются специальными сущностями, почти минимальными в выполнении фор- мальных аксиом в языке первого порядка.

Таким образом, основные затруднения с принятием аксиомы конструируемое™ состоят в том, что она требует, чтобы каждое множество было определимо совершенно однородным путем. Это противоречит интуиции понятия множества. Больше того, как и в случае с континуум-гипотезой, аксиома конструируемости подвергает реалистическое сознание математика новым испытаниям. Дело в том, что с точки зрения реализма эта аксиома либо истинна, либо ложна, и явно недостаточно простой фиксации факта, что ZFC + У= L и ZFC + УФ L равно приемлемы, потому что оба они не противоречат ZFC.

Если внутриматематические критерии принятия аксиомы не позволяют прийти к определенному вердикту относительно ее истинности, следует прибегнуть к «внешним» критериям. П. Мэдди полагает, что таким внешним критерием могут явиться рассмотрения, связанные со сменой парадигм в математике. Правда, она при этом не прибегает к терминологии Т. Куна, и вместо термина «парадигма» употребляет термин «методологическая максима», а во всем остальном картина та же. Развитие науки отвечает следующей парадигме (максиме), а именно, 1) сильная и эффективная методологическая максима формулируется обобщением успешной научной практики; 2) постепенно накапливаются аномалии; 3) возникает новая альтернативная максима, которая вытесняет старую. Вся эта механика призвана объяснить ситуацию с V = L. Таким образом, альтернативой реализму является натурализм в математике, который весьма близок куновской философии науки.

Итак, математическая максима, о которой идет речь, это требование, чтобы все математические объекты были определимы строго однородным путем. Исторически дискуссии по поводу этой максимы, точнее, ее становления, связаны с понятием функции. Декарт различал «геометрические» кривые, которые определяются уравнениями, и «механические» кривые, для которых это невозможно.

Несложно установить связь аксиомы конструируемости с двумя максимами. Аксиома устанавливает, что множества определимы в однородной, более точной, предикативной манере. Таким образом, V = L связана со старой максимой определимости функции, в то время как отрицание аксиомы связано с новой комбинаторной максимой. Мэдди резюмирует, что «.. .глубокое и распространенное сопротивление добавлению V = L в качестве новой аксиомы кажется рациональным»115.

Однако споры вокруг аксиомы конструируемости вряд ли столь же тесно связаны со сменой одной методологической максимы другой максимой, как это имеет место в случае смены одной парадигмы другой парадигмой в эмпирических науках. Параллели в данном случае не отвечают видам связи, которые имеют с философией математика и, скажем, физика. Аномалии в физике, прежде всего, связаны с экспериментальными данными, чего не может быть в математике. Апелляция к более общему понятию практики, при котором мысленные эксперименты заменяют собой реальные эксперименты, вряд ли поможет прояснению ситуацию с такими вещами, как принятие или отвержение новой аксиомы. В конечном счете, в случае математики все ограничивается общими подозрениями. «Сторонники комбинаторной максимы допускают, что до 60-х годов V = L была достаточно гибким инструментом для того, чтобы справиться со всеми аномалиями для предыдущей версии максимы оп- ределимости, и поэтому можно было непротиворечиво предполагать, что все комбинаторно определенные множества окажутся на некотором уровне конструкциями L, но дальнейшее развитие исследований приводит к подозрению, что возникнут новые аномалии и что принятие V=L ограничит плодотворные исследования. Я предлагаю эту линию исследования как правдоподобную реконструкцию случая против V = L, которая лежит в основе общего возражения против "ограничительности" аксиомы»116.