5. Теория множеств и реальность

Кроме онтологической веры в существование реальности, описываемой теорией множеств, важны еще и эпистемологические соображения, которые не позволяют развить аналогию между неевклидовой геометрией и неканторовской теорией множеств до такой степени, при которой эта аналогия приобретает по-настоящему философский интерес. В этом смысле опять-таки чрезвычайно важно мнение самого Геделя: «Высказывались мнения, что если континуум-гипотеза Кантора окажется неразрешимой в рамках принятых аксиом теории множеств, вопрос о ее истинности теряет смысл точно так же, как для математиков бессмыслен вопрос об истинности пятого постулата Евклида после доказательства непротиворечивости неевклидовой геометрии.

Что касается эпистемологической ситуации, то тут следует сказать, что доказательство неразрешимости приводит к потере значимости вопроса об истинности аксиомы только в том случае, если система аксиом интерпретируется как гипотетико-дедуктивная система. Другими словами, если значения примитивных терминов остаются неопределенными. В геометрии, например, вопрос о том, является ли пятый постулат Евклида истинным, сохраняет свое значение только в том случае, если примитивные термины имеют определенный смысл, а именно, с указанием на поведение твердых тел, лучей света и т.д. Подобная ситуация имеет место и в теории множеств, и различие состоит лишь в том, что в геометрии значения берутся из физики, а не из математической интуиции, и поэтому вопрос выпадает за рамки математики. С другой стороны, объекты трансфинитной теории множеств... не принадлежат к физическому миру и даже их косвенная связь с физическим опытом весьма слаба (главным образом, благодаря тому факту, что теоретико-множественные концепции играют лишь малую роль в современной физике)»118. К формализму философов математики подталкивает сама природа аксиоматизации. Аксиоматика теории множеств позволяет «рассосать» фундаментальную философскую проблему относительно природы математики. В аксиоматической теории множеств противоположность платонистской и конструктивистской позиций практически невидима. Если математика, как полагает платонист, мыслится как открытие уже существующего универсума множеств, тогда аксиомы прямо утверждают существование множества, удовлет- воряющего определенным условиям.

Приведенный выше список аксиом стандартной теории множеств не является каким-то каноническим. Возможны другие перечни и другие аксиомы. Например, есть список аксиом, именуемый аксиомами теории множеств Цермело — Френкеля — Сколе- ма, включающий следующие аксиомы: 1.

Аксиома экстенсиональности. 2.

Аксиома пустого множества. 3.

Аксиома неупорядоченных пар. 4.

Аксиома множества-суммы. 5.

Аксиома бесконечности. 6.

Аксиома замещения. 7.

Аксиома множества-степени. 8.

Аксиома выбора. 9.

Аксиома регулярности119.

Наконец, имеет смысл привести исходный перечень аксиом, который появился в работе Э. Цермело120. 1.

Аксиома экстенсиональности. 2.

Аксиома элементарных множеств: пустое множество, единичное множество, множество пары. 3.

Аксиома свертывания (Aussonderung). 4.

Аксиома множества-степени. 5.

Аксиома объединение множеств. 6.

Аксиома выбора. 7.

Аксиома бесконечности.