7. Вполне-упорядоченные множества

Действительно, ординальная числовая последовательность для конечных совокупностей совпадает с рядом натуральных чисел. Затем она расширяется до бесконечной последовательности, имитируя обычную числовую. Тогда можно ожидать, что применение ординальных чисел позволит определить число точек на линии. Если это можно было бы сделать, тогда легко ответить на вопрос о кардинальности континуума, потому что нам достаточно знать, в какой числовой класс попадают эти ординальные числа. Таким образом, требуется лишь приписать множеству ординальное число.

Но для того, чтобы сделать это, требуется упорядочить элементы множества точно таким же образом, как это имеет место в ординальной последовательности. Что такое ординальная последовательность? Она начинается с некоторого элемента, продолжается бесконечно, вплоть до следующего ординального числа, с которого начинается новая последовательность, хотя в ординальной последовательности нет последнего (наибольшего) элемента, всегда есть первый (наименьший) элемент. Это значит, что множество, элементы которого «считаются», должно быть вполне-упорядоченным. Это понятие означает, что элементы множества можно построить в линейном порядке, при котором каждое непустое подмножество имеет наименьший элемент.

Концепция вполне-упорядоченных множеств была неявной частью теории Кантора, поскольку натуральные числа служили прототипом вполне-упорядоченных чисел.

Но проблема состоит в том, что точки на линии, или действительные числа в интервале (0, 1), не являются вполне-упорядочен- ными. Доказательство этого важного факта легко получить с помощью диагонального аргумента. А это значит, что точкам на линии нельзя приписать ординальные числа. Однако есть еще одна возможность обойти это затруднение и попытаться получить оценку мощности континуума через ординальные последовательности. Числа последовательности числовых классов представляют собой последовательность бесконечных кардинальных чисел. Поэтому последовательность ординальных чисел дает шкалу и кардинальных чисел. Мощность континуума равна 2К0, и есть надежда, что где-то 7. ВПОЛНЕ-УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА

на этой шкале можно будет обнаружить и это множество. Но здесь следует отметить факт чрезвычайной важности, который позволяет по-новому взглянуть на пути создания математических теорий. Кантор прибыл к концепции кардинального числа двумя различными способами, которые в значительной степени независимы друг от друга!74 Поэтому нет никакой гарантии, что каждое кардинальное число как мера мощности множества будет иметь представителей среди кардинальных чисел числовых классов, т.е. классов ординальных чисел, которые порождаются тремя принципами порождения Кантора.

Кантор предполагал, что каждое множество может быть впол- не-упорядочено, и поэтому каждое множество имеет по крайней мере одно ординальное число.

Если переходить на более философский язык, то можно сказать, что кардинальные числа «открываются», в то время как ординальные числа «конструируются». Если это действительно так, тогда континуум-гипотеза принадлежит к такому кругу вопросов, ответ на которые попросту невозможен. Действительно, с одной стороны, есть «объективно» существующая шкала алефов, а с другой — «искусственно сконструированная» концепция ординальных чисел. Континуум-гипотеза предлагает доказать в качестве математической теоремы некоторый факт, который увязывает «объективные» факты с ментальными конструкциями.

Ясно, что подобное описание ситуации вряд ли можно признать удовлетворительным. Прежде всего, такой вопрос, который поставлен в континуум-гипотезе, не родился в результате чистого вымысла, ограниченного самодостаточной областью бесконечных мно- жеств. Сама постановка вопроса родилась в ходе очередной попытки математиков ответить на вопросы о точках на прямой. Теория Кантора явилась попыткой разрешить проблемы, связанные с характеристикой непрерывных пространств и функций, определенных на них. Сами эти проблемы возникли в ходе попыток дать основание для теории бесконечно малых, и поэтому теорию множеств можно охарактеризовать как изобретение, помогающее разрешить реально существующую задачу. В этом смысле континуум-гипотеза может рассматриваться в чисто прагматическом плане.

Безусловно, такой подход к теории множеств не совпадает с тем, что думал сам Кантор. Для него теория представляла описание реальности, универсума множеств, столь же объективных, как и физические предметы. И поэтому любое ее утверждение должно быть либо истинным, либо ложным. Континуум-гипотеза, которую пытался доказать Кантор, может не иметь истинностного значения только в силу того, что мы не имеем достаточного знания о множествах, и как только необходимое знание будет у нас в распоряжении, мы сможем установить истинность или ложность гипотезы.

Как видно, чисто математический вопрос об истинности или ложности континуум-гипотезы становится философским вопросом о том, в каком смысле математическая теория является описанием реальности. Тогда встает вопрос о том, следует ли принять математическую практику как она есть, и не пытаться ревизи- ровать математику, исходя из философских соображений о природе бесконечного, или же принять во внимание те философские посылки, которые беспокоили Кантора и до сих пор беспокоят его последователей.