Введение

Критика традиционного образа математики приобрела сегодня всеобщий характер и сделалась почти модой. Философы, логики, историки математики и сами математики говорят о нестрогости математических доказательств, о ненадежности интуиции и о принципиальной неустранимости противоречий в фундаментальных математических теориях. Традиционный идеал математики как строгой науки сегодня, как кажется, полностью отвергнут. Некоторые философы предлагают рассматривать математическую теорию как вырожденный случай эмпирической теории, т. е. как теорию, подверженную корректировке и опровержению во всех своих элементах.

Математическая практика, однако, мало согласуется с такой идеологией. Каждый, кто в достаточной степени проник в логику математических рассуждений, ясно осознает, что математика — это не физика, что ее выводы не проверяются в опыте, они не являются исторически преходящими и никогда не корректируются опытом в том смысле, как это происходит с законами опытных наук. Математики в своем большинстве верят в абсолютную надежность внутренних понятий своей науки и никто не допускает возможности контрпримеров для теоремы Пифагора или основной теоремы алгебры, несмотря на то, что не существует строгого логического обоснования непротиворечивости геометрии и алгебры. Практика математики, несмотря на все философские сомнения, всегда исходила и исходит до сих пор из ясного различения математики и опытной науки в смысле их надежности.

Это означает, что релятивистская философия математики неадекватна, что она не отражает в должной мере специфику математики как науки и не дает теоретического обоснования математической практики. Эта философия, будучи безупречной на уровне абстрактных силлогизмов, входит в явное противоречие с практикой математического мышления и с историей математики, которая свидетельствует об абсолютной стабильности математических утверждений, когда-либо принятых математическим сообществом. Этот факт дает нам основание думать, что современные скептические выводы о положении дел в основаниях математики, сложившиеся под влиянием эмпирической теории познания, не отвечают сути дела.

В книге предполагается обсудить новый взгляд на проблему обоснования математики, проистекающий из понимания математики как априорной науки.

Идея априоризма в наше время не выглядит привлекательной. Ученые и философы в своем большинстве склонны рассматривать априоризм как пережиток схоластики, как исторически объяснимую, но, несомненно, ложную попытку разрешить фундаментальные проблемы теории познания. Надо признать, что такая оценка традиционного априоризма имеет некоторые основания. Система априорист- ской философии, представленная И. Кантом в «Критике чистого разума», с современной точки зрения выглядит догматичной, противоречащей фактам науки (факту неевклидовых геометрий, в частности) и даже мистической, поскольку она без всякого объяснения приписывает конечному человеческому существу способность видения абсолюта — универсальных и неизменных форм мышления.

И тем не менее, надо признать, что философия априоризма содержит в себе истины, которые не могут быть устранены. Это относится в особенности к пониманию природы математического знания. Философия априоризма опирается на факт, подтвержденный математической практикой и всей историей математической науки, что математика — не эмпирическая наука, что математические понятия имеют другой источник своего возникновения и другие законы развития. Философия математики не может уйти от идей априоризма по той простой причине, что она не может закрыть глаза на ярко выраженные особенности математической науки и оставить их без объяснения.

Априористская философия математики не может быть отброшена, она может быть лишь приведена в соответствие с современной теорией познания. Здесь нужно согласиться с Э. Гуссерлем, который считал, что проблема априорного не только не решена, но пока еще и не поставлена должным образом1. Основной задачей данной книги является разработка новой концепции априоризма, приложимой к пониманию математики и к решению проблем ее обоснования.

Общей теоретической предпосылкой нашего рассмотрения является положение о практической природе познания. Понимание практики как глубинной основы познания, его высшего стимула и высшего критерия истины является важнейшим завоеванием теории познания XIX века. Прежние философы рассуждали об опыте и о разуме как об источниках истины, но они или не ставили вопроса о функции знания или давали на этот вопрос самые фантастические ответы. Еще Л. Фейербах объяснял развитие науки человеческим честолюбием. К. Маркс и Ч.С. Пирс впервые посмотрели на знание с точки зрения его назначения, его социальной функции и необходимой включенности в предметную (материальную) практику. Теория познания приобрела недостающий ей телеологический момент и способы объяснения, присущие телеологической науке.

Что касается вопроса о месте математики в системе наук, то наиболее приемлемой является здесь формалистская концепция, согласно которой математика представляет собой не учение о мире, имеющее свой предмет, а лишь совокупность логических структур, предназначенных для описания различного рода реальных связей, открываемых опытными науками. С этой точки зрения к математическим теориям не применимы понятия истинности и ложности и к ним не может быть предъявлено требование обязательного соответствия какой- либо внешней реальности. Математическая теория рассматривается здесь не как описание мира, но лишь как метод, как чистая структура, которая может быть использована для моделирования реальных связей. Определяющей особенностью исходных принципов математической теории, с этой точки зрения, является не их очевидность или соответствие какому-либо опыту, а их непротиворечивость, обеспечивающая способность теории транслировать истину от одних содержательных утверждений к другим.

Идея математики как формальной науки, противостоящей эмпирическим наукам, была с полной ясностью высказана уже полтора столетия назад Г. Грассманом в предисловии к «Учению о протяженности». «Верховное деление наук, — писал Грассман, — состоит в разделении их на реальные и формальные науки, из которых первые отображают в мышлении бытие, как самостоятельно противостоящее мышлению. Наоборот, формальные науки имеют своим предметом то, что полагается самим мышлением. Их истина заключается в согласии мышления с самим собой»2. Формалистская концепция математики также может быть подвергнута критике, но в настоящее время мы ясно осознаем то обстоятельство, что философия математики не может быть адекватной, если она не будет учитывать фундаментального разделения двух типов знания, которое лежит в ее основе.

Может показаться, что декларируемые установки, а именно, априоризм, прагматизм и формализм — слишком разнородны для того, чтобы быть совместимыми.

Уяснение того обстоятельства, что непротиворечивость является основным свойством математической теории и что в математике, в принципе, приемлема любая дедуктивная система, обладающая непротиворечивостью, было громадным прогрессом в философии математики, истинным освобождением математического мышления от гнета внешнего мира. Эта важная идея была, однако, дополнена впоследствии ложным тезисом, согласно которому все математические утверждения, в том числе и самые элементарные, не более чем конвенции, в принципе допускающие замену и удерживаемые в обращении исключительно вследствие их простоты и удобства для некоторых конкретных целей.

Современная философия математики должна соединить в себе три разнородных положения, а именно, тезис об идеальности и формальности математических структур, т. е. представление о математике как о совокупности чисто мысленных конструкций, ограниченных только требованием непротиворечивости, тезис об априорности исходных математических представлений, заключенных в традиционных разделах математики, таких как арифметика и элементарная геометрия, и тезис о реальности исходных математических представлений как непосредственно связанных с универсальной онтологией, лежащей в основе человеческого мышления. Задача книги состоит в том, чтобы показать возможность указанного синтеза и его продуктивность применительно к проблемам обоснования математики.

Рассуждения об обосновании математики должны исходить, очевидно, из некоторого достаточно ясного смысла самого этого понятия. В разные эпохи под обоснованием математики понимались различные вещи. Для математиков Древней Греции, столкнувшихся с проблемой несоизмеримых величин, проблема обоснования, как мы можем предполагать на основе дошедших до нас сведений, состояла в том, чтобы найти способы обращения с произвольными отношениями величин, не отбрасывая иррациональных величин и не отступая от точности вычислений. Они разрешили эту проблему через использование геометрических построений. Математики XVII века усматривали неясные моменты в использовании мнимых и иррациональных чисел, которые не укладывались в принятые представления о математической реальности. Проблема обоснования состояла для них в отыскании убедительной реальной (физической или метафизической) интерпретации для этих чисел. Для математиков XVIII века, которые осознавали нестрогость алгоритмов дифференциального исчисления, проблема обоснования состояла в уточнении исходных понятий новой теории и в возвращении к идеалу строгости, который был задан классическими образцами. Проблема обоснования математики в XVIII веке была прежде всего проблемой строгости доказательства. Необходимая строгость была приобретена после определения основных понятий анализа на базе понятия предела. Для Г. Фреге и Л. Кронекера проблема обоснования математики состояла в ее унификации, в выявлении ее содержательной основы, обеспечивающей единство и строгость всей науки. Фреге хотел представить математику как ветвь логики, в то время как Кронекер был убежден, что такой исходной содержательной основой математики является арифметика. Г. Кантор и Д. Гильберт впервые сформулировали проблему обоснования математики как проблему обоснования непротиворечивости математических теорий. Очевидно, что это совершенно новое понимание обоснования, отличное от всех предшествующих. При такой постановке проблемы обоснование математики не связано непосредственно ни с унификацией математического знания, ни с поиском содержательной интерпретации для математических понятий и теорий.

Можно, конечно, рассматривать все исторически имевшие место подходы как равноправные и в равной мере заслуживающие внимания. Но это было бы плохой стратегией. Нетрудно видеть, что каждое понимание обоснования математики проистекало из методологических проблем своей эпохи и из идеала математики, т. е. из философии математики, преобладающей в данную эпоху. Стремление к обоснованию науки всегда исходит из некоторых гипотез о ее назначении, ибо по своей сути оно не может означать ничего другого как стремление максимально приблизить практику науки к идеалу, диктуемому ее предполагаемым назначением. Но это значит, что для определения правильного пути мы должны принять такое понятие обоснования, которое в наибольшей степени соответствует современному пониманию математики как науки. Мы, таким образом, должны сделать здесь философский выбор, а именно, выбор между современными гипотезами о сущности математики и ее назначении.

Сказанное выше уже в определенной степени определяет этот выбор. Если математика рассматривается как совокупность абстрактных структур, нацеленных в конечном итоге на то, чтобы быть точным языком и средством дедукции для опытных наук, то проблема ее обоснования сводится к обоснованию качеств, определяющих эту функцию математики, а именно, к обоснованию надежности ее доказательств и к установлению непротиворечивости ее теорий. Эти две задачи, непосредственно проистекающие из формалистского понимания сущности математического знания, будут основными в нашем исследовании. Всякие другие трактовки и цели обоснования мы должны рассматривать здесь как частные, побочные и заслуживающие внимания лишь в той мере, в которой они значимы для решения указанных основных задач.

Обосновательная деятельность в математике состоит из двух относительно автономных уровней: математического и философского. Применение принятой программы обоснования к конкретной теории представляет собой чисто математическую работу. Программа обоснования, однако, сама нуждается в обосновании, в установлении ее соответствия своей задаче. Здесь возникают философские и методологические проблемы, такие как проблема интуиции, проблема надежности содержательного доказательства, проблема допустимой логики и т. п. Любая программа обоснования математики содержит в себе систему допущений, имеющих философский или гносеологический характер. Надо признать, что несмотря на усилия, затраченные выдающимися философами и математиками XX века на прояснение и обоснование этих допущений, мы имеем здесь минимальное продвижение вперед и именно это обстоятельство является причиной того, что проблема обоснования математики все еще остается далекой от своего решения.

Имеются основания предполагать, что новые продвижения в решении проблемы обоснования математики придут не от логики, а станут возможными именно на основе радикального углубления философии математики. Довольно очевидно, что эмпирицистская философия математики не указывает здесь правильных перспектив. Отождествить математику с опытными науками в плане обоснования — слишком простое решение вопроса. Мы должны вспомнить здесь слова И. Канта, сказанные по поводу попыток вывести логику из психологии: «Смешение границ различных наук ведет не к расширению этих наук, но к их искажению»4. В настоящее время философия математики нуждается в прояснении специфики математического знания. И прежде всего мы должны избавиться от ложных эмпирических аналогий, которые вносят путаницу в само понимание проблемы обоснования математики.

Хотя философия сама по себе не может претендовать на полное решение проблемы обоснования математики, она может более или менее успешно выполнить свою часть работы. Она должна установить необходимые гносеологические критерии, в рамках которых сама проблема приобретает смысл и перспективу. Основная часть нашей работы будет состоять в обосновании праксеологического априоризма. Задача состоит втом, чтобы показать, что априоризм, жестко связывающий исходные математические представления с универсальной онтологией, позволяет отстаивать более оптимистические взгляды относительно возможности полного обоснования математических теорий. -J^^tb J

jj j.\ і НІ JJ о Ji±> ллл J л ^.л j1 j] -j і і»ui о J1 о

«Под интуицией я имею здесь в виду не веру в шаткое свидетельство человеческих чувств и не обманчивое суждение человеческого воображения, о прочное понятие ясного и внимательного ума, порожденное лишь естественным светом разума и благодаря своей простоте более достоверное чем сама дедукция...»

Р.Декарт. «Правила для руководства ума.»

«Всеми разделяется то убеждение, что геометрия со всеми своими истинами справедлива с безусловной всеобщностью для всех людей, всех времен, всех народов, для всех не только исторически фактических, но и для всех вообще мыслимых. Принципиальные предпосылки этого убеждения никогда не были обоснованы, потому, что никогда не были всерьез проблематизированы»

Э. Гуссерль. «Начало геометрии.