Заключение

В первом плане проблему можно считать решенной, поскольку в рамках логического анализа доказано, что известные типы парадоксов не могут появиться в стандартных аксиоматических представлениях арифметики и теории множеств.

Программы обоснования математики, выдвинутые в начале XX века, не имели сколько-нибудь обстоятельного гносеологического оправдания своих установок. Хотя Фреге и Рассел много говорили о логике как о необходимой основе мышления, о ее связи с универсалиями и т. п., они не дали гносеологического анализа логики, позволяющего поддержать их основной тезис о сводимости математики к логике. Этот тезис, идущий от Лейбница, они разрабатывали исключительно в математическом плане, пытаясь продемонстрировать убедительные технические способы его реализации. Это в полной мере относится и к другим программам. Интуиционисты не вникали особо в анализ особенностей математической интуиции, точно так же, как формалисты не исследовали должным образом понятие априорной части математики.

Это обстоятельство объясняется многими факторами. Это прежде всего трудность собственно философского анализа и естественное нежелание математиков входить в абстрактную сферу рассуждений, имеющую свои подходы и критерии.

Прямым следствием такого, сугубо математического подхода к проблеме обоснования было то, что все подходы к ее решению были сведены к реализации трех программ — логицизма, интуиционизма и формализма, которые представляли собой, в сущности, три различных способа редукции содержания математики к его аподиктически очевидной основе. Признание несостоятельности всех этих программ привело к выводу о невозможности обоснования математики и к появлению устойчивого скептицизма в отношении строгости математического мышления вообще. Основной предпосылкой скептицизма в современной философии математики является тезис: «Если математику нельзя обосновать в самой математике, то ее нельзя обосновать вообще». Этот тезис трудно оспорить, поскольку идея обоснования математической строгости, методами, не обладающими полной строгостью, представляется абсурдной.

Современное состояние философии математики существенно определено этой скептической идеей, порожденной провалом попыток обоснования математики методами самой математики. Задача строгого обоснования объявляется теперь иллюзией и пережитком априоризма. Выдвигается положение о методологическом родстве математики и опытных наук, которое не оставляет места для традиционного представления о математике как о строгой и абсолютно доказательной науке.

Проведенное здесь рассмотрение вопроса было направлено на то, чтобы показать необоснованность такого рода общих выводов.

Мы выяснили, что генетическим фундаментом математики является не опыт, не конвенция и не логика, а аподиктическая очевидность, порожденная деятельностной ориентацией сознания. Исходные математические структуры однозначно определены категориальным видением мира и не подлежат корректировке на основе опыта. Праксеологический анализ оправдывает установки традиционного априоризма, связывающего исходные математические представления с формами мышления. Он, однако, рассматривает эти формы не как имманентные структуры сознания, а как представления, порожденные деятельностью, и, таким образом, как специфическую картину реальности, задаваемую процессом деятельности. Исходные математические теории получают при таком подходе реальный статус как формальные структуры, коррелятивные универсальной онтологии.

Праксеологический анализ указывает нам на три реальных подхода к обоснованию математического знания: онтологический, логико- онтологический и системный. Онтологический подход состоит в непосредственном заключении о непротиворечивости математической теории из онтологической истинности ее принципов. Мы не можем обосновать математическую теорию каким-либо более надежным способом, чем через прояснение онтологической природы ее принципов. Арифметика и евклидова геометрия, с этой трчки зрения, не нуждаются в каком-либо опосредованном обосновании своей непротиворечивости, поскольку мы вправе считать их исходные принципы коррелятивными предметной онтологии. Никакая программа обоснования математики не может быть построена без опоры на непосредственную очевидность, без принятия некоторых теорий как обоснованных вследствие несомненной истинности их принципов.

Логико-онтологический подход состоит в усилении традиционных программ обоснования через рационализацию их гносеологических допущений. Программы обоснования математики, выдвинутых в начале XX века не имели достаточного обоснования своих установок. Эти установки проистекали скорее из пристрастий отдельных школ математиков, чем из анализа природы математического мышления. Все эти программы были построены как гипотезы ad hoc и все они потерпели поражение вследствие неоправданных запретов на исходные принципы и логику редукции. В настоящее время можно с полной определенностью утверждать, что неудача этих программ была обусловлена не столько сложностью проблемы, сколько плохой философией, точнее, отсутствием разумной философии, способной умерить критицизм в определении обосновательного слоя и логики. Наша задача состояла здесь в устранении необоснованных ограничений на основе анализа природы исходных логических и математических принципов.

Праксеологический анализ позволяет отказаться от подозрений в отношении классической логики, реабилитировать геометрическую очевидность и признать в качестве надежных содержательные рассуждения, протекающие в рамках аподиктической очевидности. Мы обосновываем истинность существенно трансфинитных положений, таких, как аксиома выбора и аксиома бесконечности, и снимаем проблему логического обоснования арифметики вследствие онтологической истинности ее исходных принципов. Мы оправдываем, наконец, евклидианское обоснование как необходимое для математики, обусловленное природой математического метода. В настоящее время мы не можем строго очертить истинных границ логико-онтологического обоснования математики, но совершенно очевидно, что эти границы находятся не там, где они поставлены существующими метатеоретиче- скими критериями.

Системный подход проистекает из понимания эволюции математических структур и из эквифинального характера этой эволюции. Мы исследуем здесь математические теории не как готовые структуры, но как развивающиеся системы, совершенствующие свою внутреннюю организацию. Мы строим здесь методологическое рассуждение, показывающее неизбежность зрелого состояния теории, связанного с полной надежностью ее основ и пытаемся выявить общезначимые признаки этого состояния. Это путь к обоснованию математического фундаментализма на основе идеи развития.

Представляется удивительным, что затратив массу усилий на прояснение оснований математики, философы упустили из виду естественный процесс внутреннего вызревания математических теорий, который демонстрируется всей историей математики и каждой теорией в отдельности. Причина этого явления заключается, несомненно, в ложном понимании содержательного математического рассуждения как неизбежно связанного с опытом и аналогиями. И эмпиризм, и формализм всегда отождествляли математическую содержательность с эмпирической и отказывали содержательному математическому рассуждению в полной доказательности. Логическая парадигма не могла рассматривать эволюционные аргументы как имеющие обоснова- тельный характер.

Анализ логики становления математической теории позволяет обосновать неизбежность ее стабилизации и оседания в абсолютно непротиворечивой форме. Мы обосновываем здесь математическую теорию не на основе истинности ее принципов, а на основе ее внутренней системности, исходя из идеи существования неразрушимого ядра теории и стабильности системы аксиом как части этого ядра.

Если мы признаем, что каждое математическое доказательство достигает абсолютной надежности, каждая математическая теория неизбежно достигает выявления абсолютно надежной аксиоматики, и что возможны общезначимые критерии, позволяющие утверждать эту надежность в конкретных случаях, то проблему обоснования математики можно считать решенной в смысле полной реабилитации математической строгости и устранения всякого скептицизма в отношении фактической надежности его оснований.

Было бы ошибкой понимать системный анализ как некоторого рода паллиативный подход, приемлемый исключительно вследствие невозможности логического анализа. В действительности, это наиболее адекватный подход, основанный на универсальных качествах математической теории, позволяющий понять истоки непротиворечивости математических теорий и разрешимость проблемы в целом. Он открывает принципиально новую перспективу, ибо содержит в себе понимание того обстоятельства, что наши усилия должны быть направлены не на поиски принципов построения теорий, предохраняющих нас от противоречий, а на установление общезначимых критериев, свидетельствующих об их логической зрелости. В действительности, только это второе направление исследования открывает нам путь к реальному и окончательному обоснованию математических теорий.

Системный подход в определенном смысле устраняет необходимость логического обоснования. Радикальные эмпирики отказывались от логического обоснования вследствие нестрогости всякого доказательства, прагматики выдвигали эту идею, исходя из предположения, что наличие противоречий не лишает математику образа презентабельной науки1. В системном контексте, однако, это положение имеет другой смысл. Математика в принципе не нуждается в логическом обосновании не потому, что оно невозможно, и не потому, что в нем нет необходимости, а потому, что мы можем рассматривать само развитие математической теории как постоянный процесс ее обоснования, имеющий гарантированный результат. Системный анализ позволяет утверждать, что любая математическая теория достигает стадии абсолютной непротиворечивости.

Этот тезис, конечно, не обесценивает собственно логического анализа математики. Логические исследования по обоснованию математических теорий развиваются вместе с развитием и усложнением математики, и несомненно, что это будет продолжаться и впредь. Мы должны постоянно углублять понимание математического метода, языка, структуры доказательств и определений и решать многие другие проблемы, которые не могут быть поставлены на уровне общих содержательных характеристик математического знания. Достижения математической логики, как уже говорилось, вносят радикальные изменения и в саму философию математики. Методологический подход заменяет логический при рассмотрении теорий, имеющих апог диктически очевидные основания или зрелых теорий, историческое развитие которых доказало адекватность и устойчивость лежащих в их основе принципов.

Методологическое рассмотрение является более универсальным, ибо оно применимо и в тех случаях, где собственно логический анализ теряет силу. В конечном итоге, мы должны признать ограниченность логических средств обоснования математики и признать методологические подходы в качестве единственно универсальных и соразмерных с математическим мышлением в целом. Прояснение этого обстоятельства позволяет,понять проблему обоснования математики как преимущественно философскую и методологическую проблему.

Любая теоретическая система обосновывает сама себя в процессе своего развития и применения. Особенность математической теории состоит в том, что она обосновывает себя абсолютно, она достигает внутренней организации, не подлежащей изменению и обладающей полной логической совместностью. Это значит, что математика всегда была и остается абсолютно строгой наукой. Это обстоятельство является глубинной основой обычного доверия ученых к математическим методам, а также известного равнодушия математиков к обосно- вательным проблемам. Они исходят из того, что парадоксы не затрагивают глубинных слоев математической теории и не могут стать опасными для ее основных утверждений. Системное рассмотрение оправдывает эту стихийную веру как проистекающую из сущностных качеств математического мышления.

В этом плане становится предельно ясной несостоятельность понимания парадоксов как кризиса, угрожающего самому существованию математики, которое имело место в начале XX века. Фреге, Рассел, Пуанкаре, Гильберт говорили о парадоксах как-подрывающих само основание математической науки. В настоящее время мало кто понимает ситуацию столь драматически: сообщество математиков стихийно перешло к более спокойному ее восприятию. Системный анализ дает теоретическое обоснование несостоятельности первоначального страха перед парадоксами. Мы выяснили, что все противоречия зрелой математической теории относятся к ее периферии, к точкам ее роста и в принципе не могут сказаться на ее признанных утверждениях. С этой точки зрения в значительной мере теряет смысл и само понятие кризиса в основаниях математики. Это понятие в настоящее время имеет преимущественно исторический смысл как отражающее особое восприятие парадоксов в начале XX века,

Изложенное понимание оснований математического мышления устраняет все типы математического релятивизма. Мы безусловно отвергаем эмпирический скептицизм, проистекающий из отождествления математических и эмпирических понятий. Регресс в бесконечность — ложная идея, некритически перенесенная в философию математики из теории эмпирического знания. В действительности, каждая математическая теория имеет неразрушимый центр, обладающий абсолютной корректностью содержащихся в нем понятий. Развитие математической теории представляет собой лишь расширение этого центра, но не бесконечное уточнение всего множества своих понятий. Являются несостоятельными, конечно, и все формы логического и психологического релятивизма. Психологическая относительность, реально имеющая место в наших понятиях и оценках, не противоречит интерсубъективности и абсолютности познавательных норм, определяющих мышление, и абсолютности структур, определенных на основе онтологии. Понимание глубинной связи первичных математических идеализаций с универсальными категориями мышления устраняет всякую возможность их психологической релятивизации.

Решение проблемы обоснования математики в XX веке было существенно затруднено слабостью философии, отсутствием должного гносеологического анализа природы математических идеализаций. Надо признать тот факт, что ни одно из философских учений не выработало основы для понимания сущности математического мышления и рациональных методологических установок для понимания ситуации в основаниях математики. Это относится прежде всего к эмпирической философии математики, которая никогда не имела ясного представления о действительной основе первичных математических идеализаций. Эмпирическая трактовка математических понятий ставит их рядом с физическими, допускает расплывчатость их границ, неправомерно усложняет математическое знание, превращая его из конечного в бесконечное, из абсолютно надежного в неопределенное и относительно надежное. Проблема обоснования математики при этом теряет свой специфический смысл, превращаясь в систематизацию относительных истин, приемлемую для любого типа знания.

Эмпирическая философия не объясняет простых фактов, противоречащих ее методологическим допущениям. Если математические доказательства действительно никогда не освобождаются от скрытых лемм, то почему мы не видим постоянного распухания условий теорем в процессе совершенствования теории? Если основания никогда не окончательны, то почему никакие парадоксы не приводят к опровержению признанных аксиоматик и достигнутых результатов в этих теориях? Почему, наконец, мы не имеем теорем, которые доказывались и считались истинными в древности и которые мы не можем принять в качестве таковых сегодня? Задача философии в отношении отдельной науки должна состоять прежде всего в понимании такого рода несомненных методологических фактов. Основная слабость эмпирической философии состоит в том, что она не проясняет специфики математики и не приближается к решению этой задачи.

Формалистская концепция математики делает шаг вперед, отказываясь рассматривать опыт как источник математических истин. Однако, пытаясь объяснить математику только из ее внутреннего строения, отказываясь от апелляции к какой-либо реальности, она неизбежно попадает в методологический тупик, ибо не может объяснить ни надежности логики, ни устойчивости истин элементарной математики без обращения к идее конвенции. Эмпирицистский релятивизм заменяется релятивизмом прагматическим, столь же мало совместимым с задачей абсолютного обоснования. Гильберт спасает положение, принимая тезис об априорности метатеории, но вследствие этого вся программа приобретает новую неопределенность, проистекающую из неопределенности границ априорного знания.

Априористская философия ближе к пониманию природы математики, ибо она с самого начала подчеркивает принципиальное различие математических и опытных наук. Современный априоризм, однако, также крайне неудовлетворителен как с точки зрения своего внутреннего обоснования, так и с точки зрения своей эффективности для методологии науки. Основной его недостаток состоит в отсутствии идеи деятельности. Он не понимает практической детерминации универсальных структур сознания, не осознает в должной мере того обстоятельства, что система высших идеализаций сознания определена телеологией мышления, что мир предметов и предметных разграничений создается не опытом и не внутренней активностью сознания, а процессом практического изменения реальности и что именно эта практическая инстанция обеспечивает восприятие мира как трансцендентного бытия и задает структуры мышления, имеющие безусловное значение для всякого опыта. Эта абстрактная метафизика является для нас существенной, ибо мы не можем понять истоков математических идеализаций, их объективности и реальности без уяснения их связи с системой категорий и с нормативной основой мышления.

Рационалистическая философия не выработала пока формы априоризма, приемлемой для понимания математики. Кант, связав математические истины с категориями пространства и времени, указал, в принципе, верное направление мышления. Но философия Канта не выявляет природы категорий, а следовательно, и истинной сферы априорного знания. Гуссерль существенно ослабил позицию Канта, поставив априорные формы мышления в зависимость от первичных ассоциаций опыта и внутренних операций мышления, не поддающихся ясному определению. Мы должны исходить из того, что универсальные формы мышления не могут быть обоснованы без выхода за пределы самого мышления, без анализа его универсальных целевых установок. Кантовская теория априорного знания несовершенна, но возвращение к интроспективному идеализму Декарта является отступлением от истины и, в конечном итоге, дискредитацией самой идеи априорного знания.

Можно согласиться с критиками априористской философии в том, что она не показала себя действенной основой для разрешения об- основательных трудностей в математике и даже с тем положением, что априористская теория познания в течение последних двух столетий демонстрирует скорее постоянный регрессивный сдвиг, чем изменения, продуктивные для методологии науки2. И тем не менее, было бы совершенно неразумным делать отсюда вывод об опровержении априоризма. Проведенный анализ показывает, что дело не в ложности априористской философии, а лишь в ее неспособности прояснить свои основы. Мы не можем уйти от признания априоризма по той простой причине, что мы должны объяснить факт существования логических и математических истин как инвариантных структур сознания. Было бы абсурдным искать это объяснение на основе опыта или конвенции.

Первые программы обоснования математики были обречены на неудачу вследствие слабости методологических и философских предпосылок, из которых они исходили. Математики начала XX века с полным доверием относились к тому, что геометрическая очевидность ненадежна, что классическая логика ограничена, что содержательное рассуждение, использующее слова обыденного языка, не может быть надежным. Они соглашались с тем, что математические истины ана- литичны, что конечная математика более достоверна, чем математика, связанная с понятием бесконечности, и что надежное обоснование математики возможно только как конструктивное или финитное. Если в настоящее время мы несколько продвинулись вперед и в достаточной степени осознали несостоятельность всех этих установок, то это означает, что проблема обоснования математики может быть поставлена сегодня на некоторой более глубокой основе. Изложенные доводы были нацелены на то, чтобы наметить контуры нового понимания проблемы, не связанного с первоначальными предрассудками.

С достаточной определенностью можно предполагать, что существенный сдвиг в решении проблемы обоснования зависит сегодня не от достижений в логике и в анализе аксиоматических систем, а прежде всего от углубления философии математики, от прояснения наших представлений о природе математического мышления и о допустимых походах к обоснованию математических теорий. Необходима новая философия математики, проясняющая особый статус математического мышления и истоки его надежности. Здесь возможны существенно различные подходы. Представляется, однако, несомненным, что исходным пунктом этой новой философии должно быть понимание категориальной основы математических идеализаций и логики.