<<
>>

Приложение 5 Фрагмент лабораторного практикума Модель фирмы (экономико-математическая модель задачи)

Рассмотрим производственную фирму, выпускающую один вид продукции или много видов. Пусть Х — годовой выпуск фирмы в натурально-вещественном выражении. Данная фирма, производя свою продукцию, использует настоящий труд L — среднее число занятых в год, и прошлый труд в виде средств труда К (основные производственные фонды) и предметов труда М (затраченное за год топливо, энергия, сырье и т.п.).

Пусть — вектор-столбец объемы затрат разных видов ресурсов. Тогда технология производственной фирмы может определяться функцией вида:

, (1)

где F(x) — непрерывная и имеющая вторую производную функция, причем матрица ее вторых производных отрицательно определена.

Рассмотрим функцию прибыли:

, (2)

где р — цена единицы продукции,

— вектор-строка цен ресурсов. В данной модели нет ограничений на размеры ресурсов, привлеченных в производство. Основным требованием является их неотрицательность, при этом задача на максимум прибыли приобретает вид:

. (3)

Необходимыми условиями этой задачи нелинейного программирования являются условия Куна-Таккера:

(4)

Если в оптимальном решении использованы все виды ресурсов, т.е. х*>0, то условия (4) принимают вид:

или где j=1,…,n, (5)

т.е.

стоимость предельного продукта в оптимальной точке данного ресурса должна равняться его цене.

Если рассматривать задачу нелинейного программирования на максимум выпуска при заданном объеме издержек С:

(6)

то получается задача с одним линейным ограничением и условием неотрицательности переменных. Что бы ее решеть вначале строится функция Лагранджа:

далее она максимизируется при условии ее неотрицательности

Условия Куна-Таккера для этой задачи имеют вид:

(7)

Они полностью совпадают с (4), если .

Пример и порядок выполнения лабораторного задания

Рассмотрим однопродуктовую фирму, задающуюся производственной функцией Кобба-Дугласса:

Пусть на аренду фондов и оплату труда выделено 150 ден.ед., то есть стоимость аренды единицы фондов ден.ед./ед.ф., ставка заработной платы ден.ед./чел.; цена единицы продукции р = 5 ден.ед.

Необходимо определить максимальный выпуск Х* при заданном объеме издержек двумя способами:

1) по задаче на максимум прибыли;

2) по задаче на максимум выпуска.

После чего строятся изокосты (линии постоянных издержек) для С = 50, 100, 150 и изокванты (линии постоянных выпусков) для X = 25,2, Х*, то есть решение иллюстрируется графически с помощью Excel.

В итоге необходимо определить предельную норму замены одного занятого фондами в оптимальной точке.

Порядок выполнения задания

1. Найдем оптимальный выпуск продукции производственной фирмы по задаче на максимум выпуска (смотрим формулу (6)):

1.1. Так как F(0;L)=F(K;0)=0, то в оптимальном решении выполняются ограничения К*>0, L*>0. Таким образом, условия (7) принимают вид:

(8)

1.2. Подставим в формулу (8) вид данной производственной функции , тогда получим:

(9)

1.3. Поделим в условии (9) первое уравнение на второе: то есть или K=4L (10)

1.4. В условие поставив (10) мы найдем: L*=5 и K*=20. В результате чего получаем, что Х*=37,8

2. Самостоятельно определяеам оптимальный выпуск по задаче на максимум прибыли.

3. Построим изокосты для С = 50, 100, 150 и изокванты для Х = 25,2, 37,8, то есть решение этой задачи проиллюстрируем геометрически. В результате в Excel получается решение, которое является шаблоном для решения других аналогичных задач:

3.1. Введем значения L (например, от 0 до 20) в ячейки А1:A20.

3.2. Ячейки В1:B20, С1:С20, D1:D20 заполним значениями K, рассчитанными из уравнения 5К+10L=С, где C=50,100,150.

3.3. Ячейки Е1:E20, F1:F20 заполним значениями K, рассчитанными из уравнения

где

3.4. Выделим блок А1:F20 и с помощью «Мастера диаграмм» построим изокосты и изокванты, выбрав «точечный» вариант построения графиков.

Построенный график изображен на рисунке:

По условию (8), нормали к кривым, заданные градиентами или коллинеарны, поэтому в оптимальной точке (20;5) изокванта Х*=37,8 и изокоста С=150, проходящие через эту точку, касаются.

4. Определим норму замены труда фондами в оптимальной точке: то есть одиного работающего мы можем заменить двумя единицами фондов.

<< | >>
Источник: ЛУКОЯНОВА Наталья Анатольевна. ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ПОДГОТОВКА БУДУЩИХ ЭКОНОМИСТОВ В УСЛОВИЯХ КОМПЕТЕНТНОСТНОГО ПОДХОДА В ОБРАЗОВАНИИ. 2015

Еще по теме Приложение 5 Фрагмент лабораторного практикума Модель фирмы (экономико-математическая модель задачи):

  1. 2.2. Реализация технологии математической подготовки будущих экономистов в условиях вуза
  2. Приложение 5 Фрагмент лабораторного практикума Модель фирмы (экономико-математическая модель задачи)