КОНЦЕПЦИЯ МНОГОМАСШТАБНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
В течение последних десятилетий в материаловедении и других отраслях техники доминировали методы континуальной механики. Однако многочисленные экспериментальные наблюдения за поведением материалов, особенно в наномасштабе, показали, что ряд явлений не поддаются объяснению в рамках континуальной механики, среди них — статистическая природа хрупкого разрушения, наличие поверхностной шероховатости, неоднородность пластической деформации и др.
Поэтому возникает необходимость найти фундаментальное описание механических свойств материалов, исходя из свойств и строения атомов, молекулярных систем и нанокластеров.Необходимость многомасштабного моделирования обусловлена существенным различием между объемом необходимых расчетов и ограниченностью вычислительных ресурсов. Интеграция многомасштабного подхода в процесс проектирования наносистем, очевидно, будет идти по двум направлениям. Первое — применение разных методик моделирования к различным элементам системы, например квантовых методов — к реакциям, а молекулярной механики— к структурам, несущим реакционные центры или ограничивающим их положение. Такой подход был реализован для моделирования соотношений структура-свойство-функнция в энзимах. Важной задачей является распространение этого принципа на смешанные модели других видов.
Второе направление применений многоуровневого моделирования — доработка конструкции. Для этого сначала с помощью недорогих и сравнительно неточных методик выявляются перспективные системы, которые затем исследуют более точными и затратными методами. Такой подход повышает скорость оценки конструкции с учетом априори известных ограничений используемых моделей, что повышает производительность проектирования. Необходимо обеспечить постепенность интеграции этой методологии в технологии атомарной точности.
Применительно к наноразмерным системам использование компьютерного моделирования имеет принципиальные трудности.
В указанных системах отсутствует дальний порядок, свойственный кристаллам и позволяющий уменьшить число независимых степеней свободы системы. С другой стороны, ближний порядок, характерный для жидкостей, не позволяет определить все функциональные свойства наноматериалов. Следует учитывать также технические трудности, связанные с моделированием на атомном уровне макрообъектов. Так, в кубе вещества со стороной 100 нм содержится примерно 107 атомов. Прямое моделирование таких систем в приближении молекулярной динамики и, тем более, квантовой механики затруднительно даже с использованием современной суперкомпьютерной техники. В связи с этим возможно использование в моделировании иерархического многомасштабного подхода, когда на каждом нижнем уровне вычисляются параметры и переменные, необходимые для построения моделей верхнего уровня. Цели, достигаемые на верхнем уровне иерархического моделирования, тем самым определяют задачи моделирования на нижних уровнях. Таким образом, выстраивается согласованная иерархия моделей, направленная на «сквозное» моделирование систем от уровня конструкции и поведения конечного изделия вплоть до атомно-молекулярного уровня. Следует отметить, что прикладное и промышленное значение имеет именно такой «сквозной» подход, позволяющий снизить затраты на проведение многочисленных экспериментальных исследований.Если начать рассмотрение методов по восходящему пути, то поведение нескольких десятков и сотен атомов достаточно точно моделируется с использованием методов квантовой механики, основанных на «первых принципах» , в которых моделирование связано с решением уравнения Шрёдингера для атомных систем (включающих ядра и электроны) и использованием числовых алгоритмов. Данные методы обеспечивают более точное описание поведения материалов на квантовом уровне, даже если размеры систем ограничены несколькими сотнями атомов. Современные методы моделирования конденсированных сред, кластеров, нанотрубок и др., основанные на «первых принципах», базируются на строгих математических законах теории функционала плотности.
Описание моделируемого объекта строится в рамках волновых функций и заданного гамильтониана системы (изолированный кластер). Целевыми функциями являются электронный энергетический спектр, собственные функции и плотность состояний изолированного кластера при фиксированном положении ядер, а также потенциальная энергия системы с учетом электронно-ядерных подсистем.
Для систем, содержащих от нескольких сотен до нескольких тысяч атомов, используют методы сильной связи или полуэмпирические методы, основанные на квантовой механике. Эффективность вычисления с использованием полуэмпирических методов основывается на том, что оператор Гамильтона квантовой системы может быть записан в параметрической форме.
Совместно с решением электронной структуры для многих атомных систем существует возможность моделирования динамического развития как функции времени. Разработаны некоторые точные квантовые молекулярные динамические схемы, в которых межатомные силы вычисляются на каждом временном отрезке с помощью квантовомеханических вычислений в рамках приближения Борна-Оппенгеймера. Динамическое движение ионных позиций все еще подчиняется законам ньютоновской механики и описывается молекулярной динамикой. Наиболее широко известной и точной схемой является молекулярный динамический метод Кара-Парринелло, в котором электронные состояния и атомные силы описываются с помощью теории функционала плотности.
Однако методами «из первых принципов» не удается рассчитать сложные системы с большим количеством атомов, поскольку требуются огромные вычислительные мощности. Поэтому наиболее популярные методы моделирования в физике и химии — методы молекулярной динамики и Монте-Карло. Основной их проблемой является проблема выбора потенциала межатомного взаимодействия. От этого во многом зависят результаты моделирования. Первоначально использовались простейшие потенциалы парного взаимодействия, а затем и многочастичные потенциалы, изложенные в разделе 5.2.
Для больших систем (десятки миллионов атомов) могут быть применены классические методы МД, когда движение атомов и молекул рассматривается в приближении дифференциальных уравнений ньютоновской механики.
Использование принципов классической механики обосновано во всех случаях, кроме работы с очень легкими атомами и очень низкими температурами. Динамика комплексных систем в конденсированной фазе, таких как металлы и полупроводники, описывается с использованием явных или неявных функций многомассового поля сил, использующих типовые возможности метода внедренного атома (БАМ) для металлов и типовые возможности методов Штиллингера-Вебера и Терсофа-Бренне- ра для полупроводников.Типовые возможности метода Терсоффа-Бреннера параметризованы и предназначены специально для систем на основе углерода, таких как углеродные нанотрубки. Однако до сих пор не разработано универсальной классической функции поля сил, которая с успехом применялась бы во всех случаях и со всеми материалами. Следовательно, необходимо быть осторожным, особенно там, где ожидаются реальные химические изменения с большим перемещением атомов (включая электронные перестановки).
Для описания больших по объему систем требуется проводить усреднение характеристик материала по объему элемента следующего (мезоскопического) уровня и приписывать ему полученные усредненные характеристики. Следует отметить, что на этом уровне существенны не только средние значения физических величин, но и их флуктуации. Учет флуктуаций является наиболее важным отличием мезофизики от макрофизики, для которой достаточно ограничиться феноменологической динамикой средних значений величин. На мезоскопическом уровне моделирования используются уравнения баланса массы, энергии, импульса, момента импульса, энтропии, макроскопические уравнения Максвелла вместе со своими граничными условиями — совокупностью уравнений сплошной среды с источниками мелкомасштабных и крупномасштабных флуктуаций. Для некоторых систем возможно включать определение переменных мезоскопического уровня в модель молекулярнодинамического уровня.
Результаты мезоскопической модели применяются для определения параметров метода конечных элементов, реализующего модели сплошной среды и модели уровня конструкций, базирующегося на теории механизмов и машин и теории систем.
Конструкционный уровень по мере развития нанотехнологии спускается по иерархии масштабов вплоть до квантовых уровней, и, следовательно, элементы каждого уровня иерархии могут представлять собой не только те или иные физические системы или кластеры материала, но быть конструкциями, т. е. логико-динамическими системами.С точки зрения перспективы компьютерного моделирования наносистем, проблемой является разница во временных шкалах и шкалах длин в природе. Предпринимаются попытки разработать главный «инструмент» моделирования, который можно было использовать с различными шкалами длин. Подобные подходы осуществлялись на протяжении всего периода моделирования единичных систем, но большинство работ проводилось для специфичных приложений и не подходило для остальных.
На другом крайнем уровне (макроскопическом) применяют традиционные методы численного решения задач континуальной механики, например известные методы конечных элементов (МКЭ), метод граничных элементов (МГЭ), конечно-разностные методы (МКР) и др. В основе этих методов лежат основные уравнения механики сплошных сред, выражающие законы сохранения массы, импульса, момента импульса, энергии, дополненные соответствующими определяющими соотношениями, позволяющими конкретизировать физические особенности поведения различных материалов и сред.
Концепция многомасштабного моделирования обычно интерпретируется как моделирование системы с использованием различных масштабов (размеров). И это отчасти верно, тем не менее непосредственная реализация такого моделирования может быть очень разнообразной. Как правило, есть несколько подходов к реализации и представлению исследуемой системы, обычно они не связаны, т. е. каждый из возможных подходов осуществляется отдельно и независимо от других.
В зависимости от способа информационного обмена между уровнями моделирования методы многомасштабного моделирования можно условно разделить на три группы: иерархические, «совмещенные» и с многомасштабными граничными условиями.
В рамках иерархических методов атомные свойства тела формулируются в континуальном масштабе таким образом, чтобы мелкие шкалы зависели от крупных шкал некоторым предсказуемым образом. Иерархический подход основан на предположении о гомогенном характере деформации. Поэтому он является более эффективным для пластичных однофазных систем.
Трудность возникает при моделировании дефектов атомных решеток и др. Например, метод конечных элементов для атомных масштабов (АМКЭ) был использован для многомасштабного моделирования. Он имеет точно такую же формальную структуру, как и континуальный метод конечных элементов, и, таким образом, может быть плавно совмещен с атомарным уровнем.
АМКЭ использует обе, первую и вторую, производные энергии системы в вычислениях ее минимума.
Разработан способ моделирования с использованием гибридной многомасштабной вычислительной процедуры, идея которой состоит в сохранении полного молекулярного описания системы в тех областях, где это представляет наибольший интерес, и использовании модели «грубых зерен» в остальных областях системы. Это стало возможным благодаря соединению молекулярной динамики с мезоскопическим описанием реальных жидкостей, основывающимся на флуктуационной гидродинамике Ландау.
В молекулярной физике важным является знание конформаций молекул, взаимного расположения всех атомов соседних молекул относительно друг друга (в том числе и атомов водорода). Такую детализацию исследуемых молекул обеспечивают полноатомные модели. В них рассчитываются взаимодействия всех атомов, что позволяет достаточно точно моделировать структуру, конформационную динамику и взаимное расположение молекул. Современные задачи, решаемые с помощью компьютерного моделирования, требуют исследования систем, состоящих из сотен тысяч атомов. Такое количество взаимодействующих центров в модельных системах приводит к большим вычислительным затратам, и, как следствие, интервал времени, на котором удается проследить эволюцию системы, ограничивается единицами наносекунд. Моделирование системы можно ускорить, применив другой подход, суть которого в следующем: группы атомов одной молекулы объединяются в единые элементы структуры, образуя «объединенные атомы», или «грубые зерна». За счет сокращения числа взаимодействующих центров и увеличения их массы удается сократить вычислительную нагрузку для выполнения одного шага моделирования и увеличить временной шаг моделирования.
В случае «совмещенных» методов многомасштабного моделирования поведение системы в каждой размерной шкале зависит от ее поведения в других шкалах. Соответствующие модели для каждой размерной шкалы уже разработаны: континуальная механика для макроупругих сред, молекулярная динамика с квантовомеханической связью для больших групп молекул. Между различными шкалами существует очень сложная взаимосвязь, которая нуждается в четком определении и сглаженности.
«Совмещенные» методы важны для изучения целого ряда проблем, включая неоднородную деформацию, поведение многофазных материалов и наножидкостей. При использовании таких методов возникает, естественно, ряд методологических вопросов: как разделить шкалы, что является адекватным механизмом для связи атомного и континуального моделирования, как интегрировать результаты различных шкал моделирования и др. Для их решения предлагается, в частности, ввести так называемую область соединения, где совмещаются методы моделирования в различных масштабах: конечных элементов, молекулярной динамики и сильной связи.
В группу «совмещенных» методов входит также ква- зиконтинуальный метод, в котором соединяются методы молекулярной динамики и конечных элементов. Связь между ними осуществляется через ячейку «адаптации», позволяющей осуществлять перемещение от квазиконти- нуального масштаба до атомного уровня.
Кроме вышеназванных имеется метод молекулярной динамики, сочетающий квантовомеханическое описание объектов и использование модели классических сил. Разные типы описания исследуемой системы совмещаются в единую объединенную схему, которая основана на идее усиления (уточнения) уникальных, легко параметризующихся моделей сил путем включения в такие модели (во время выполнения программы) квантовомеханической информации, необходимой для более точного определения траекторий движения.
Методы многомасштабных граничных условий не включают в явном виде модель континуальной среды, чтобы не возникало проблем с разделением шкал. Многомасштабные граничные условия используются в основном в «совмещенных» методах моделирования, чтобы представить атомное поведение системы в континуальной среде.
Это приводит к плавной связи между методами конечных элементов и молекулярной динамики без привлечения искусственной области «сшивки» атомной системы с континуальной средой.
Существуют также так называемые гибридные методы, целью которых является соединение областей с несравнимыми масштабами времени и длины. Например, жидкость, рассмотренная на атомном уровне в пределах внутренней области Р, соединяется с внешней областью С, описанной в терминах континуальной механики жидкостей. Согласование обоих описаний проводится с помощью перекрытия (совмещения) этих двух областей, состоящего из двухсторонних схем связи (С -> Р и Р -> С), которые передают массу, импульс и энергетические потоки.
Иногда многомасштабное моделирование необходимо для сочетания областей разного масштаба в одном моделировании. Тогда можно использовать условия, при которых эти области будут согласовываться. Например, представлен новый класс условий согласования атомной и континуальной областей для моделирования кристаллов. Такой способ был применен в дислокационной динамике и для описания трения между двумерными атомными плоскими поверхностями кристаллов.
7.1.