Методология математики: проблемы интеллектуального развития

В процессе научного познания, направленного на достижение новых знаний, проявляются общие закономерности природы и характера научной деятельности, специальным изучением которых занимается методология науки, т.е.

Методология науки является учением о методах научного познания, теоретических средствах исследования, о методах практического постижения истины, а также о приемах организации научной деятельности. Методология науки позволяет овладеть результативными методами исследования, выступает средством повышения эффективности научного познания, способствует его интенсификации, представляет собой базу развития науки. К методологии относится знание истории науки, знание мировоззренческих, теоретико-познавательных и социокультурных оснований, знание основных логических форм и законов мышления, принципов построения научной теории.

В широком смысле методология математики изучает совокупность математических методов, связь математики с другими науками и с различными областями человеческой деятельности. Методология математики определяет ее объект и предмет; место математики в системе наук; соотношение теоретической и прикладной математики; внутреннюю структуру науки; методы, применяемые в исследовании; философские

проблемы математики; истинность теоретического знания; перспективы развития науки.

Недооценка методологических проблем мешает формированию научного представления об основах, путях развития и перспективах математических наук.

1. Место математики в системе наук

Объект и предмет математики. Объект любой науки - это часть либо определенное свойство реального мира, на которое направлена познавательная деятельность исследователя, т.е. это объективный мир, существующий независимо от сознания, независимо от познающего его субъекта. Например, объект познания физики - неживая природа. Но неживую природу исследует и ряд других наук, поэтому надо уточнить, что физика изучает физическую форму материи, ее строение (на уровне атомов и элементарных частиц), ее свойства, такие, как энергия, скорость, масса и др. Химия изучает химическую форму материи: вещества, их синтез, превращение одних веществ в другие, которое подчиняется периодическому закону Д.И. Менделеева. Биология имеет своим объектом познания биологическую форму материи - живую природу, способ существования живой материи - жизнь и развитие живых организмов. Социальную форму материи изучает обществознание. Объект философии - весь мир (природа, ^ общество, сознание), но в определенном отношении: всеобщие законы

vjy развития природы, общества и мышления. Аналогично, объект познания vP

математики - также весь мир, но только в других его проявлениях. Для того чтобы определить объект математики, необходимо выделить изучаемые ею свойства реального мира. Р. Декарт относил к области математики "те науки, в которых рассматривается либо порядок, либо мера, и совершенно не существенно, будут ли это числа, фигуры, звезды или что- нибудь другое". А.Н. Крылов писал, что математика есть наука о точно измеряемых величинах. Ф. Энгельс определил, что чистая математика имеет своим объектом "пространственные формы и количественные отношения действительного мира" (это определение получило наибольшее признание современных математиков, оно выдержало проверку временем и является наиболее наглядным для использования в обучении).

Если признать, что отношения в математике также являются "чистой формой", то можно считать объектом математики форму, взятую в отвлечении от содержания. Такой позиции в определении объекта математики придерживались Г. Гегель, А. Пуанкаре. Последний заметил, что "математиков занимают не предметы, а отношения между ними. Поэтому они вправе заменять одни предметы другими, лишь бы отношения их остались

при этом неизменными. Содержание их не волнует, они интересуются только формой". Поэтому вслед за Гегелем и Пуанкаре будем считать математику наиболее общей наукой о форме. Философию по аналогии можно определить как наиболее общую науку о содержании, выделенном в чистом виде.

Предмет науки не совпадает с ее объектом, он не тождествен объективной реальности, а является ее воссозданием в сознании познающего субъекта, теоретической моделью реальных вещей, их свойств и связей. Таким образом, предмет исследования - отражение сущности и закономерностей объекта познания в теоретических понятиях, его теоретическое осмысление. Собственно, предметом науки являются ею же построенные абстрактные понятия, теоретические конструкции, такие, как нерастяжимая нить, прямая, плоскость, материальная точка, идеальный газ, бит.

Различные математические науки, имея общий объект познания, отличаются набором теоретических понятий и поэтому предметом исследования. Так, предмет арифметики - числа, операции над ними, свойства чисел (операции эти известны всем: сложение, вычитание, умножение, деление, сравнение). Предмет классической алгебры, построенной до 19 века, - буквенные выражения, операции над ними, свойства тех и других.

vjy добавились новые: предельный переход, дифференцирование, vP

интегрирование. Предмет всех разделов геометрии (которые различаются только методами) - геометрические тела и фигуры.

Таким образом, предметом математики в целом являются математические структуры, их элементы, операции над ними и свойства перечисленного. Обратим внимание, что числа, геометрические тела, функции в реальном мире не встречаются - это абстрактные теоретические понятия. И в этом основное отличие объекта и предмета науки.

В литературе часто объект и предмет математики отождествляется. Но с методологической точки зрения различие этих понятий очень важно. Объект развивается вместе с развитием материи и относительно устойчив. Предмет развивается вместе с наукой и отражает результаты исследований. Определение предмета науки отражается на определении направлений ее развития и на систематизации разделов математики.

2. Методы математики

Метод в самом общем значении - способ достижения цели, определенным образом упорядоченная деятельность. Как средство познания метод есть способ воспроизведения в мышлении изучаемого предмета. Отсюда вытекает важный принцип методологии науки: единство предмета и метода. Суть его заключается в следующем. С одной стороны, предмет любой науки включает в себя изучение ее метода (т.е. метод науки включается в ее предмет). С другой стороны, метод представляет собой теорию в действии, он

отождествляется со всей наукой и в этом смысле предмет (т.е. законы науки, составляющие ее предмет) включается в метод.

Методы познания принято подразделять на несколько уровней, которые характеризуются степенью их общности.

Табл. 1. Уровни методов познания

-е-

-е- Частнонаучные методы математики. Математика располагает широким арсеналом относящихся к первому уровню частнонаучных методов. Собственно, каждая математическая дисциплина соткана из способов решения некоторого круга типовых задач. Например, систему линейных алгебраических уравнений мы можем решить методом последовательной подстановки неизвестных, методом Гаусса, по правилу Крамера, вычисляя обратную матрицу, а для исследования такой системы можем применить ранги матриц. Еще примеры: метод неопределенных коэффициентов в ряде математических дисциплин, метод вариации постоянных в теории дифференциальных уравнений и пр. Все это - частнонаучные методы. Классифицировать их можно по основным разделам математики.

С арифметических методов каждый начинает свое ознакомление с богатой структурой частнонаучных методов математики. Это простейшие операции над числами, приемы решения арифметических задач (по действиям, с указанием вопросов, на которые это действие отвечает), моделирование условий задачи на числовой оси, в виде таблицы, схемы, диаграммы.

методы коммерческой арифметики (ставки, учет векселей и т.д.). И, наконец, появляются методы теоретической арифметики - теории чисел.

Методы классической алгебры возникли при изучении свойств уравнений и неравенств и направлены на их решение, поэтому алгебра в течение многих столетий трактовалась как наука о решении уравнений. Методы современной алгебры (теории групп, полей, пространств и т.д.) образуются на общих основаниях теории множеств и направлены на выявление свойств алгебраических структур. Неожиданно эти методы, казавшиеся поначалу совершенно абстрактными, стали находить многочисленные практические приложения в других разделах математики, в физике, кристаллографии.

Методы математического анализа составляют ядро современных методов исследования во всех науках, где применяется математика, т.е. используются законы чистой формы, в частности, количественные отношения. Вначале это были новые методы исследования кривых, нахождение наибольших и наименьших значений все расширяющегося класса изученных функций. Одновременно вместе с возникновением анализа в 17 веке его методы стали применяться для решения физических и технических задач: для вычисления скорости движения, ускорения, момента инерции, центра тяжести фигуры, работы, давления и других физических величин. С построением теории рядов исследователь получил в руки новый аппарат: приближенное представление многих функций в виде многочленов, что позволило решить ряд актуальных задач в физике и технике. Дифференциальные уравнения существенно расширили класс доступных для ^ решения прикладных задач, так как производная, входящая в уравнение, ^

vjy позволяет моделировать многочисленные условия, накладываемые на vP

скорость движущегося тела. Например, без дифференциальных уравнений совершенно невозможен расчет космических траекторий. Уравнения в частных производных настолько пронизаны приложениями, что даже получили название уравнений математической физики (об этом же говорят и сами названия уравнений: волновое, телеграфное, теплопроводности).

Методы функционального анализа знаменуют содой наиболее общий, абстрактный подход к описанию практических предметных ситуаций с помощью математики. Собственно, теоремы функционального анализа относятся не к конкретным прикладным задачам, а характеризуют целые классы задач, обладающие общими структурными свойствами. Например, изучая решение операторных уравнений, мы получаем общие закономерности, которые затем могут быть использованы при решении алгебраических, интегральных и дифференциальных уравнений.

Когда мы говорим о геометрической ветви математических дисциплин, то всегда речь идет об изучении свойств геометрических тел и фигур. Геометрические науки различаются применяемыми методами: в элементарной геометрии используется (кроме геометрических теорем и дополнительных построений на чертежах) арифметика, в аналитической геометрии - методы алгебры, в дифференциальной - методы математического анализа, топология настолько пронизана методами функционального анализа, что становится его разделом.

Принципы математики. Принципы - методы четвертого уровня (табл. 1) - просматриваются в каждой математической науке: принципом

аналитической геометрии является метод координат, принципом вариационного исчисления - вычисление вариаций с помощью уравнения Эйлера. Принципами являются и три метода математического анализа - предельный переход, дифференцирование и интегрирование, в результате постоянного применения которых сформировалась эта наука.

В чем заключается богатство содержания метода координат? Почему он породил аналитическую геометрию, а вслед за тем и всю современную математику? Идея метода проста: поставить во взаимно однозначное соответствие геометрические и алгебраические объекты. Таким образом, точке на числовой оси соответствует действительное число, точке на плоскости - упорядоченная пара действительных чисел, кривой - уравнение, области - неравенство или система неравенств. Далее это соответствие применяется на практике, и в результате геометрические задачи сводятся к алгебраическим, а алгебраические - к геометрическим. Теперь расстояние можно не измерять, а вычислять, пересечение кривых находить не с помощью чертежа, а путем решения системы уравнений и т.д. Для решения этих задач и родилось новое научное направление - аналитическая геометрия.

Историки науки отмечали, что вслед за декартовой переменной стало "неизбежно необходимым" возникновение дифференциального исчисления. Дело в том, что математик, получив широкий арсенал аналитических методов для исследования геометрических кривых, неизбежно натолкнется на вопрос о построении касательной к кривой: а нельзя ли найти уравнение касательной? Этот путь открытия производной и построения теории vjy дифференциального исчисления и был реализован Г. Лейбницем. vP

Появление новых операций - дифференцирования и интегрирования - породило вал исследований, публикаций, решенных практических задач, что привело к необходимости выделения новой науки - математического анализа. Ее принципами стали поначалу операции дифференцирования и интегрирования как мощные, универсальные методы познания. Долгие годы они не находили логического обоснования, пока О. Коши (1789-1857) не разработал теорию пределов, на основании которой были построены дедуктивные определения производной и интеграла.

Большое методологическое значение имеет выделение и анализ принципов двух основных частей математики - теоретической и прикладной. Всякое исследование в области чистой математики строится дедуктивно. Поэтому дедуктивный вывод является принципом теоретической математики.

В то же время основа приложений математики - метод моделирования, это единственное адекватное средство отражения реальной действительности в понятиях математики, способ перевода задачи с языка других наук на язык математики. Поэтому принципом прикладной математики является метод математического моделирования. Таким образом, методология науки дает нам принципиальный признак для различения математики-теории ("чистой") и математики-метода (прикладной). Он выражается в том, что если первая основное внимание уделяет гносеологической стороне исследования с ее вниманием к логике, к теоремам существования, единственности, к условию сходимости величин,

то вторая исследует практическую сторону дела, что сводится к построению математической модели реального процесса и ее исследованию с помощью точных или приближенных методов.

Общенаучные методы в математике. Третий уровень методов познания (табл. 1) - общенаучные методы. Находя применение в математическом познании, они подвергаются преломлению, приспособлению к нуждам математики. При этом именно в ней они получают свое максимальное развитие.

Метод абстракции применяется во всех теоретических науках, при этом исследователь отвлекается от всех сторон реального объекта, кроме нескольких, которые он считает существенными - это дает возможность исследовать эту сторону глубже, полнее. А.Н. Кочергин определят: "Абстрагирование как метод научного познания представляет собой операцию мысленного отвлечения познающего субъекта от ряда свойств, связей, отношений изучаемого объекта, которые с точки зрения решаемой задачи (или класса задач) представляются несущественными. Операция отвлечения равносильна операции выделения в объекте существенных свойств, связей, отношений".

Результатом абстракции является понятие. В математике этот метод достигает высшего уровня, так как она использует многоступенчатое абстрагирование. Например: эквивалентные конечные множества реальных объектов натуральное число вещественное число буквенное обозначение любого числа переменная функция функционал оператор. При этом ^ абстракция создается от абстракции и восходит на более высокий уровень,

СР все дальше уходя от реального прообраза. ЧТ"

Математическая абстракция, производя отвлечение от некоторых сторон объекта, вместе с тем всегда осуществляет его идеализацию. Этот общенаучный метод познания характерен тем, что он наделяет создаваемое мышлением абстрактное понятие чертами, не существующими в действительности. Идеализация в математике производится до крайних, предельных уровней: уменьшая размеры тела, уменьшаем их до нуля, так что они вообще исчезают - получается точка; раздвигая границы отрезка, удаляем их все дальше и дальше - в бесконечность, пока они не исчезнут - получается новое понятие: прямая.

Метод аналогий заключается в переносе знания с более изученного на менее изученный объект на основе сходства их существенных признаков. Одно из проявлений этого метода в математике - установление изоморфизма, т.е. взаимно однозначного соответствия между элементами систем и тождества их структур. Изоморфизм и есть чистая форма, отвлеченная от содержания, которая реализуема в изоморфных множествах. Другое проявление аналогии - сходство математических описаний нескольких явлений, при этом они могут иметь разную физическую природу. Эти описания выступают для всех этих процессов в качестве математической модели.

Анализ - общенаучный метод познания, заключающийся в мысленном расчленении объекта исследования на составляющие элементы. При этом выделяются и изучаются отдельные свойства, соотношения объекта, его форма, структура. Такой подход вообще типичен для решения задачи

математическими средствами. Синтез - метод, противоположный анализу и дополняющий его. Он заключается в мысленном соединении проанализированных различных сторон предмета в одно целое. Анализ и синтез находятся в диалектическом единстве, анализ для того и производится, чтобы синтезировать полученные знания.

Особого рассмотрения требует соотношение таких методов, как индукция - дедукция. Индукция - это общенаучный метод познания, основанный на рассуждениях от частных, единичных утверждений к общему выводу. Существуют полная и неполная индукции. Полная: если справедливо рассуждение для каждого элемента некоторого конечного множества, то оно справедливо для всех элементов. Неполная индукция используется на бесконечном множестве или на множестве, содержащем слишком большое, недоступное для полного перебора число элементов. Она не является универсально истинным суждением и не имеет формально- логического обоснования. Используя неполную индукцию, исследователь опирается на интуицию. Таким путем осуществляется познание в естественных науках.

В математике метод индукции получил свое крайнее выражение в виде метода полной математической индукции. Определенный гипотетический признак, справедливость которого доказывается для любого натурального числа, устанавливается для некоторых конкретных значений, а затем, полагая, что гипотеза справедлива для произвольного натурального значения, выводят как следствие, что она должна быть справедливой для следующего натурального числа. ^ Метод дедукции противоположен индуктивному. Это общенаучный метод ^

vjy познания, основанный на рассуждении от общего к частному, которое vP

представляет собой процесс логического вывода по правилам формальной логики. Наибольшего совершенства метод дедукции получил в виде аксиоматического метода. Это самый абстрактный и наиболее употребительный метод изучения математических систем. При этом основные элементы, связи между ними, а также преобразования высказываний принимаются без определения как данные. Далее основные свойства структур фиксируются в виде исходных утверждений - постулатов, аксиом. Все последующие понятия определяются через основные, а все новые утверждения (теоремы) доказываются, т.е. логически выводятся из аксиом и предыдущих утверждений. Образцом аксиоматической теории являются геометрии Евклида, Лобачевского, Римана, теория вероятностей Колмогорова и др.

Методы индукции и дедукции находятся в диалектическом единстве так же, как анализ и синтез. Индукция в чистом виде логически необоснованна, а дедуктивная теория, не получившая интерпретации с помощью индукции, - бессодержательна, схоластична. Метод дедукции является основным методом теоретической математики. Прикладная математика использует индуктивную логику и так называемые "правдоподобные рассуждения".

Может показаться, что математика как наука абстрактная исключает из системы своих методов наблюдение и эксперимент, так как никакая апелляция к опыту ничего не доказывает. Подтвержденное сотнями примеров какое-то утверждение так и останется гипотезой, пока не получит строгого доказательства. Тем не менее математики проводят численные

эксперименты для того, чтобы убедиться в правильности предположения, и только после этого ищут его доказательство.

Широкое применение в настоящее время получил общенаучный метод - математическое моделирование. Математические модели - это формулы или уравнения, выражающие закономерности строения и поведения реальных объектов или явлений. При этом изучается не само явление или объект во всем многообразии свойств, а соответствующая математическая модель. Задача построения математической модели изучаемого процесса состоит в том, чтобы, зная общий ход протекания процесса, определить его состояние для любого момента и, наоборот, определив, в чем выражается закономерность процесса для определенного момента, найти закон изменения всего явления, выраженного математическим соотношением. Теория математического моделирования - один из разделов прикладной математики.

Преподавание математики и в школе, и в вузе - это прежде всего изучение математических моделей. Как бы ни была проста модель, работа с нею происходит в четыре этапа: формализация, исследование модели, интерпретация, модернизация модели. Первый этап - построение математической модели, вывод соответствующих математических соотношений. Второй - собственно решение задачи математическими методами до получения числового результата. На третьем этапе проверяется адекватность полученного решения условиям исходной задачи. На заключительном - четвертом этапе, в связи с появившимися новыми данными об изучаемом явлении, осуществляется уточнение и модернизация Vjy модели. ЧУ

Математика как общенаучный метод познания. Центральная идея методологии математики заключается в том, что математика в целом является общенаучным методом познания. Поэтому научно-технический прогресс общества сопровождается интенсивной математизацией знаний, то есть проникновением математических методов в другие науки. Можно выделить два типа математизации: первый, при котором наука использует математику для описания и исследования своих объектов, второй, при котором математика используется для обработки данных.

Математизация является одной из характерных особенностей развития современной науки. Практически во всех науках в качестве метода исследования выступает количественное описание изучаемых конкретной наукой явлений, процессов, их связей; при этом, естественно, привлекается аппарат математики. Например, физика не может существовать без математики, однако существуют две конкурирующие точки зрения на проблему соотношения этих наук: первая рассматривает математику как структурирующую и смыслообразущую основу физики, вторая считает математику инструментом физических исследований. Таким образом, математика выступает как общенаучный метод познания для других наук, служит инструментом построения теории в них. Тогда на эти последние распространяются факты, законы и теории математики.

Выделяются следующие особенности математики, имеющие общенаучный характер: доказательность математического знания; опережающее развитие математики по отношению к другим наукам, что дает возможность

нахождения в ее содержании таких структур, которые могут быть реализованы в развитии иных наук; яркое выражение в математике духа поиска истины; реализация в ее содержании таких логических принципов и законов, которые не стали достоянием других наук; рефлективный характер математики, которая дает не просто примеры, но и образцы реализации принципа рефлексивности в научном познании (например, метаматематика Д. Гильберта).

Основой применения математики в других областях науки и техники является метод математического моделирования. В математике специально развиты целые разделы для обслуживания приложений. Например, математическая статистика предоставляет аппарат для обработки экспериментальных данных независимо от того, в какой науке они получены. Кроме того, отдельные частнонаучные математические методы перерастают свое узкоматематическое назначение и становятся общенаучными методами. Так, методы разложения искомой функции в ряд, метод предельного перехода, метод Гаусса для решения систем алгебраических уравнений применяются независимо от природы изучаемых явлений или объектов различных наук.

Можно рассматривать три уровня применения математики в других науках. Во-первых, это обработка данных конкретной науки математическими методами. Во-вторых, математическое моделирование различных явлений и процессов, изучаемых в данной науке. Наконец, в-третьих, это срастание конкретной науки с математикой, когда она формулируется языком математики (например, теоретическая механика, математическая физика и vjy др.). Однако для того чтобы конкретная наука могла выйти на второй или vP

третий уровни и использовать математику для прогнозирования процессов, она должна быть достаточно развита, должна иметь четкие определения, логическую строгость, количественно выраженные законы. Справедливо и обратное суждение: если наука применяет математику, то это свидетельствует об ее определенном уровне развития. Теоретические основания математики и ее преподавания. В публикациях последних лет все чаще выделяется особый уровень методов - общетеоретические (не философские) основы исследования. В этом качестве выступают общие теории специальных наук, результаты которых использует исследователь.

Отметим, что в классификации наук математика занимает фундаментальное место в основании пирамиды, поэтому нет более общей науки, на которую она опирается. Наоборот, сама математика выступает в качестве теоретического основания огромного количества исследований в других науках. В некотором смысле теоретическим основанием математики можно считать философию и логику.

Другое дело - преподавание математики. Для педагогики математики и методики ее преподавания теоретическим основанием является педагогика. Для педагогики общим теоретическим основанием служит все гуманитарное знание, а также некоторые естественные науки. В частности, педагогика опирается на физиологию и психологию.

Психология, наряду с другими гуманитарными дисциплинами, играет методологическую роль в преподавании математики, так как учебная

деятельность опирается на психическое отражение действительности, и опытный педагог сознательно или интуитивно учитывает состояние и изменение психики обучаемого в процессе воспитания и обучения. Это его позиция, а в преподавании (как и в исследовательской деятельности) приходится иметь дело, как правило, с методами познания первых трех уровней: частнонаучными, общенаучными методами и принципами частных наук.

В последние годы мы наблюдаем засилие психологии в педагогике, которое основывается на утопических надеждах, что психология решит все проблемы обучения, воспитания и частных методик преподавания конкретных дисциплин. В результате психолог без достаточных оснований диктует учителям-предметникам, как и что изучать на уроках математики, русского языка или химии. Однако педагогика и психология - это разные науки, у них разные предметы исследования, различная деятельность, поэтому психология не может решать за педагогику такие задачи, как определение целей образования, содержания и методов преподавания и воспитания.

В последнее время на передний план в качестве общего теоретического основания педагогики выходит философия образования, имеющая целостный объект - образование во всех его ценностных, системных, процессуальных и результативных характеристиках, учитывающих, естественно, и междисциплинарные, фоновые параметры и факторы, так или иначе влияющие на функционирование и развитие сферы образования. Философия образования является интегративной наукой, определяющей vjy политику в сфере образования, дающей междисциплинарное знание о чу

сущности объектов целенаправленного изучения и управления в данной сфере, об оптимальных путях достижения общественно и лично необходимых целей образовательной деятельности, о перспективах развития системы образования.

3. Философские основания математики

Основание методов познания (табл. 1) составляет их философский уровень. Этот подход знаменует всеобщий универсальный метод познания. Философия и математика относятся к наукам одной группы - об общих закономерностях реального мира, мышления и познания. В то же время в методах математики выделен специальный уровень - философский. Поэтому необходимо рассмотреть соотношение философии и математики, а также использование философии в математическом познании. Философия - наука о всеобщих законах развития природы, общества, мышления, общая методология научного познания. Она обладает предельно широкой степенью общности. Математика также может использоваться во всех областях научного знания. Но, несмотря на определенное сходство, философия и математика выполняют различную роль в познании. Философия выполняет по отношению ко всем специальным наукам методологическую, теоретико-познавательную функцию, в то время как математический способ является вспомогательным способом теоретического описания действительности. Можно говорить о том, что все науки зависят от философии, а философия дополняется математикой. Если

философия есть общая наука о содержании, то математика - наиболее общая наука о форме. И как законы философии, так и законы математики являются обязательными для всех наук. Математический аппарат проникает в самые разные науки, объединяя их между собой единством метода и своеобразным общим языком. Аналогичную роль играет категориальный аппарат философии. Философские проблемы математики базируются на глубокой связи математики и философии. Для математики философскими оказываются такие вопросы, как специфика математических абстракций, природа объектов математики и способы их обоснования, особенности истины, ее критериев и путей ее постижения, черты математического творчества. Фокусом перечисленных проблем выступает отношение математики к действительности. Скажем, различные геометрические описания пространства - математический факт, но выяснение отношений этого описания к реальному миру есть уже задача философской науки.

Ни одна из наук не может обойти вопрос об отношении материи и сознания. Для математики это вопрос соотношения математических абстракций и идеализаций (математического сознания), с одной стороны, и реального мира - с другой, т.е. признание или непризнание ее объективного содержания. Здесь возможны различные точки зрения. Идеалист скажет, что математические понятия созданы математиками и не имеют никакого отношения к реальному миру. Метафизик-материалист впадет в другую крайность, утверждая, что математика изучает лишь реальный мир, т.е.

понятия математики тождественны предметам, явлениям реального мира. ^

vjy Учащимся будет полезно ознакомиться со спектром мнений по этому чу

вопросу, ибо от того, как его решает то или иное философское направление, зависит и решение других философских проблем науки.

С точки зрения диалектического материализма, математические понятия получены из отношений реального мира с помощью абстракции и идеализации.

<...>Основной вопрос философии по отношению к математике можно сформулировать и в другой форме: изучает ли математика реальный мир? Собственно, мы уже дали два ответа на этот вопрос. Первый: изучает, потому что ее объектом является реальный мир (ну, пусть часть его, одна сторона). Итак, задача математики, как и всей науки, - познание мира. Второй ответ: математика не изучает реальный мир, потому что ее предметом исследования является продукт сознания - совокупность теоретических понятий данной науки. Это всего лишь модель реальных объектов, их абстракция и идеализация. Общий вывод вполне диалектичен: математика одновременно изучает и не изучает реальный мир, так как ее объект - свойства реального мира, а предмет - продукт сознания, теоретические понятия.

Не менее важным является философский вопрос о бесконечности. Философы давно поняли, что понятие абсолютной бесконечности (как отрицание всего конечного, любого определенного) внутренне противоречиво, так как отрицает и само себя. Поэтому на понятие бесконечности накладываются ограничения. В математике рассматривается актуальная и потенциальная бесконечности. Потенциальная (бесконечность

есть процесс) - возникает как процесс построения математических объектов, т.е. предполагается, что бесконечный объект якобы может быть "потенциально" построен (например, бесконечный ряда чисел). Актуальная бесконечность считается завершенной, т.е. заданной сразу со всеми элементами, в этом случае отвлекаются от принципиальной незавершенности бесконечного процесса. При этом результат является целиком построенным, "ставшей", а не "становящейся" бесконечностью. Логически доказать существование бесконечности невозможно, во всех математических определениях этот вопрос обходится. Например, в определении предела функции уже предполагается, что в некоторой окрестности функция принимает бесконечное число значений. Таким образом, понятие бесконечности не может быть раскрыто одними средствами математики. Философия выводит существование бесконечности из всей человеческой практики, из данных всех наук.

К вопросу о бесконечности примыкает вопрос о дискретности и непрерывности. Непрерывность и прерывность (дискретность), с одной стороны, - философские категории, с другой - математические понятия. Они могут быть объяснены только одно через другое: непрерывность подразумевает бесконечную делимость объекта, отсутствие разрывов; дискретность предполагает объект состоящим из отдельных элементов, предполагает конечную делимость ограниченного объекта.

Рассмотрим также соотношение философских категорий связь, вероятность, энтропия и соответствующих им понятий математики. Связь - важное философское понятие. Два объекта связаны, если изменение одного ^

vjy из них влечет изменение другого. Всякая наука начинается с выявления vP

устойчивых связей между предметами, явлениями. Математика изучает различные виды связей: необходимые и случайные; существенные и несущественные; жесткие, однозначные, вероятностные и др. Так, необходимые связи приводят к понятию функции, на основе существенных строятся математические объекты, причинно-следственные связи выявляются практически в каждой теории, модели. Исследование причинно- следственных связей, носящих случайный характер, привело к развитию теории вероятности. С вероятностью связано понятие энтропии, которая выступает как мера вероятности пребывания системы в данном состоянии и характеризует меру неопределенности системы.

4. Истинность математического знания

Математика, как и всякая наука, направлена на познание природы и находится в постоянном постижении истины, понимаемой как соответствие знания реальному миру. Мы знаем, что истина относительна и это движение бесконечно. В то же время именно по отношению к математике употребляется понятие абсолютной истины, т.е. такого знания, которое полностью исчерпывает предмет (два плюс два всегда будет четыре).

Математика имеет двойственный характер, являясь единством теоретического и прикладного знания. Принято считать, что истинность теории заключается в соответствии логике, поэтому необходим логический анализ исходных положений теории и всевозможных следствий из них. Вопрос об истинности прикладного математического знания чрезвычайно

актуален в связи с широчайшими приложениями математики. Это действительно вопрос соответствия практике: достаточно довести расчеты до числа и сравнить с параметрами реального процесса, с фактами, результатами наблюдений и экспериментов.

Важное методологическое значение имеет проблема логических оснований математики, изучение которой позволяет проследить историю развития науки, а также историю развития ее предмета и метода. Внутренне противоречивый характер взаимоотношений конечного и бесконечного, дискретного и непрерывного постоянно порождал парадоксы в математике и явился причиной трех великих кризисов логических и методологических основ математики.

<...>Изучение проблемы оснований математики приводит нас к важному методологическому выводу: процесс построения математики и ее оснований никогда не будет завершен, познание бесконечно.

Развитие математики. Речь идет о законах и источниках развития науки и ее логики. Это, конечно, тесно связано с историей науки, но не сводится к ней: это не хронология, а логика развития идей. Историю математики принято подразделять на четыре этапа: зарождение математики; период элементарной математики (математика постоянных величин) - с 6 века до н. э. по 16 век; период создания математики переменных величин - 17-18 вв.; современная математика - начиная с 19 века.

К первому периоду относится математика древнейших цивилизаций. Необходимость вычислений (количества зерна, длины дорог и т.п.) ^ порождает арифметику натуральных чисел, приводит к разработке приемов

vjy выполнения арифметических действий над дробями. Измерение площадей и чу

объемов, потребности строительной техники, а несколько позднее астрономии вызвали развитие геометрии.

Второй период начинается с формирования дедуктивного метода изложения. Много дали науке греки: Фалес (624-547 гг. до н. э.) ввел математические доказательства, Пифагор (582-500 гг. до н. э.) внес в науку математические методы, Аристотель (384-322 гг. до н. э.) создал логику, Евклид (3 век до н. э.) реализовал аксиоматический метод, Архимед (287-212 гг. до н. э.) дошел до зачатков интегрального исчисления. Третий период. Знаменитый французский математик Лаплас полагает, что "день, когда Декарт уяснил себе свой метод, можно считать официальным рождением современной математики". Это было 10 ноября 1619 года. Из декартовой переменной с неизбежностью вытекает математический анализ и вся современная математика. Возникает дифференциальное и интегральное исчисление. Основные законы физики и механики записываются в виде дифференциальных уравнений, и задача интегрирования этих уравнений выдвигается как важнейшая задача математики.

Начало четвертого периода - открытие Н.И. Лобачевским "воображаемой геометрии", которая потрясла тысячелетние устои математики. В это же время К. Гаусс доказывает основную теорему алгебры, закладывает основы дифференциальной геометрии, О. Коши дает обоснование дифференциальному исчислению, Э. Галуа пишет первую работу по теории групп. Все эти исследования революционно расширяют предмет математики.

В каждом новом направлении математики просматриваются истоки в потребностях практики, а также логика развития самой науки. Поэтому преподаватель вуза должен обращаться к истории математики всякий раз, когда вводятся новые понятия, когда осваивается новый метод решения задач. История науки показывает, при каких условиях сделаны эти открытия. При этом следует привлекать биографии выдающихся ученых: знакомство с авторами великих открытий и исторической обстановкой, в которой они творили, помогает лучше понять, каким путем шло развитие науки, его социально-историческую обусловленность.