1. Какое обстоятельство привело к преподаванию арифметики в народной школе? Ответ. Житейская потребность, признание необходимости уметь считать — материальная потребность. Это обстоятельство занимает исторически первое место среди других обстоятельств, преобразующих школьное устройство. 2. Является ли это обстоятельство или основание единственным, заставляющим нынешних учителей народных школ придерживаться этого преподавания, объявлять его безусловно необходимым? Ни в коем случае; они признали в правильном обращении с числом и в его применении к жизненным обстоятельствам превосходную воспитывающую ум силу, умственную дисциплину; формальная цель присоединилась к материальной. 3. Как относится формальная цель к материальной в смысле ее значения и в отношении ее достижения? Формальная цель заслуживает предпочтения; ею не следует ни в коем случае пренебрегать; развитие умственных сил является главной целью каждого учебного заведения. Но обе дели не исключают друг друга, наоборот, формальная цель достигается в той степени, в какой усваивается материал, которым нужно овладеть при, помощи умственной силы. Первая цель не исключает второй, а примыкает к ней. 4. Какие моменты определяют выбор и расположение материала? Прежде всего формальный момент, т. е. учет развивающейся на основе изучаемого материала природы детей, учащихся, законов человеческого развития, вплоть до учета индивидуальных особенностей отдельного ребенка; затем разнообразные внешние обстоятельства — различие условий места и времени, виды школ и т. д. Первый момент для всех одинаков, он определяет метод обращения с числом; второй управляет применением числа, или счетом. 5. Как далеко должен продвинуться каждый при изучении арифметики? Высший предел — максимум не дается; низший предел — минимум также не поддается определению в отношении степени формального образования; остается только указать минимум материального образования, а он требует, чтобы каждый ребенок был доведен до того, чтобы мог решать встречающиеся в обыкновенной практической жизни (легкие) задачи. Не только невозможно, но и вовсе не требуется, чтобы все ученики достигли равных успехов. 6. Что следует сохранить от арифметики на основе предписанных правил, формул, шаблонов? Следует уничтожить все до последнего следа. Не следует производить ни одного действия, которое ученик не понял бы до его основания. Ученик должен быть в состоянии привести не математические «доказательства» каждого действия, а простые основания, оправдывающие его перед разумом. Правильный вывод из свойств числа и реальных соотношений является доказательством правильности. 7. С чего должно начинаться обучение арифметике? Со счета реальных предметов (кубиков, палочек, пальцев, оконных стекол и т. д.). 8. Какие наглядные пособия применяют после этого и долго ли продолжается это применение? После этого переходят к употреблению искусственных пособий: черточек, точек, счетных палочек, таблиц Песталоцци, счетных досок и т. п.; упражнения в счете и в простом изменении чисел продолжаются на них до тех пор, пока ученики не получат полное, ясное представление о числах и их сочетаниях. 9. К каким пособиям переходят после этого? К (одновременному или последующему) пользованию цифрами. 10. С чего следует начинать: с работы над числом без цифр или с цифрами? Первая работа должна всегда предшествовать последней; письменный или цифровой счет везде следует за устным. Не только развивающая сила обучения арифметике заключается в понимании соотношения чисел, но и практическая жизнь требует по преимуществу умения хорошо считать устно. 11. На чем основывается главным образом беглость в устном счете? Во-первых, на навыке в применении перехода через десяток, потом на умении сравнивать и разлагать числа. 12. В какой последовательности должны, проводиться упражнения с так называемыми абстрактными и конкретными числами? Первые всегда предшествуют последним; приложение предполагает умение обращаться с абстрактными числами. Если оно достигнуто, то следуют вопросы, задачи и упражнения с именованными числами и применение их в жизни. 13. Следует ли упражнения с числами в пределах первой сотни распределять по так называемым четырем действиям арифметики? Нет. Следует заниматься всеми действиями над этими числами; подразделение на действия происходит позднее. 14. Следует ли совершенно отделить действия над дробными числами от упражнений с целыми числами? Нет. Пункт 13 запрещает это и делает невозможным. Это не было бы также целесообразным и по существу. 15. Какие моменты, следует различать в практических задачах? В о-п е р в ы х, понимание терминов и понятий; во-вторых, связь вопроса с сделанными указаниями, искомого с данными; в-третьих, определение вида зависимости искомых чисел от данных; в-четвертых, действительное получение искомого числа из данных или (устное или письменное) вычисление. 16. Как должен вести себя учитель в отношении этих четырех моментов, если ученик не может справиться с ними собственными силами? В о-п е р в ы х, он должен разъяснить значение терминов и соотношения вещей, часто прямо их сообщить; в о-в т о р ы х, разграничить искомое от данных, подробно остановиться на постановке вопроса; третьего момента учитель добивается наводящими вопросами (анализ); четвертое получается после этого само собой, оно является делом ученика. Задача будет лишь тогда вполне удовлетворительно выполнена, когда ученик сможет устно изложить эти четыре момента один за другим без всякой посторонней помощи. В третьем пункте содержится сущность всего решения; по нему мы узнаем хороший или ограниченный ум. Своими вопросами учитель направляет к расчленению (анализ); ученик соединяет (синтез). Первый исходит из искомого, последний — из данного. 17. По каким признакам мы определяем при обучении арифметике хороший ум? Кроме данных в предыдущих пунктах отличительных признаков, по самостоятельному нахождению новых способов решения, собственных путей и т. д. 18. Как следует добиваться единства в обучении арифметике? Путем рационального решения каждой задачи, согласно природе встречающихся в ней числовых отношений, а также полного отказа от таких методов, форм, формул, правил и т. д., которые непосредственно не выводились бы из самого предмета. Единство обусловлено рациональным, ясным пониманием, следовательно, развитием мышления, а не формой. Целесообразные формы не безразличны для нас, но в них должно быть заключено определенное содержание. 19. Какая самая простая, самая естественная, самая целесообразная 85форма внешней обработки задач? Не решение пропорций — это слишком искусственно и слишком трудно для народной школы; при (сложных задачах не нужно цепного правила — оно допустимо в старших классах и при подготовке к коммерческим занятиям; самой подходящей формой письменного счета для народных школ является так называемая форма дроби — она всегда требует размышления. 20. Что следует сказать о так называемых «пробах» и о «выгодах»? «Пробы» при рациональном методе излишни, «выгоды» имеют ничтожное значение. Хорошо подготовленный ученик находит последние сам, а если ему их показывают (в старших классах), то одновременно ему должны разъяснить их происхождение и вместе с этим их правильность *. II.