1. Входит ли геометрия в программу народной школы? Вне сомнения, так как она учит распознавать формы, в которых проявляется все физическое, виды материи и законы этих видов и форм, законы пространства, пространственного протяже ния, обусловленность и зависимость пространственных протяжений и форм друг от друга. 2. Почему знание геометрии включается в общечеловеческое образование? Потому что все материальное, весь физический мир, вся все- ленная, так же как и человек, существуют в пространстве; потому что без знания свойства пространства ученик не может знать формы вещей, т. е. одной их существенной стороны; потому что геометрия учит измерять линии, поверхности и объемы тел, без. знакомства с которыми человек лишается очень важных для него сведений. Без изучения геометрии ученик не может иметь даже малейшего понятия о том, как определить расстояние от земли и величину солнца, луны и звезд, так как он лишен даже представления о пространстве, занимаемом его собственным селением, и о его математических, т. е. основных, свойствах. Все эти взгляды, познания и сведения относятся к общечеловеческому образованию, постигающему сущность вещей, не говоря о практическом их значении, которое также ценно; они относятся одинаково как к женскому, так и к мужскому образованию, следовательно к общим учебным заведениям для юношества, т. е. к народным школам. Без них школе недостает если не самого необходимого, то во всяком случае важного предмета. Кто его совсем не знает, у того существенный пробел в образовании. 3. Должна ли вся геометрия входить в программу народной школы? В такой же мере нет, как и другая отрасль человеческого знания в целом; сюда должна быть включена только ее элементарная часть. 4. Какова эта элементарная часть, каковы вообще части геометрии или те точки зрения, с которых можно рассматривать ее содержание? Пространство допускает как наглядное, так и умозрительное рассмотрение. Благодаря способности к чувственному восприятию человек познает предметы пространства, вещественный мир непосредственно в его свойствах и формах. При помощи осязания он воспринимает сопротивление в пространстве, тело и его форму, его внешнюю форму. Большую помощь оказывает человеку и зрение: оно замечает протяжение, расстояние, сравнивает и измеряет их. Все это — данные внешнего восприятия. Рассудок абстрагирует различия тел, удерживает абстрактную математическую форму и таким образом приводит к внутреннему, абстрактному или математическому восприятию. Кроме того, рассудок устанавливает зависимость пространственных протяжений друг от друга, их взаимную обусловленность и последовательность. Логический рассудок делает выводы и заключения о том, что имеется то или это, потому что налицо обусловливающая его причина. Наглядная часть геометрии является ее элементарной частью и должна входить в программу народной школы. Но это не значит, что ее ученики не должны также узнать зависимость одного от другого. Последнее даже неизбежно, так как этот вид знания приходит само собой, но только в зависимости от способностей один ученик развивается быстрее и лучше, чем другой, и одна школа идет в этом направлении дальше, чем другая. Но прежде всего надо развивать способность чувственного восприятия, вначале внешнюю, а затем преимущественно и главным образом внутреннюю. Вытекающие из этих чувственных восприятий и представлений выводы возникают сами собой. Рассудок приходит непрошенным и выполняет здесь свои функции, как и во всех областях человеческого познания. Итак, деятельность учителя в области геометрии состоит, как и везде, в том (что, к сожалению, еще мало понимают) 86, что он побуждает ученика к непосредственному, подлинному, живому чувственному восприятию. Точная или так называемая евклидова геометрия с ее искусственными доказательствами не относится к программе народной школы, не может иметь в ней успеха. Однако следует повторить, что это не исключает выводов, выведения одного из другого. Но в то же время это значит, что расположение материала должно быть наглядно-генетическим, т. е. что одно должно вытекать из другого таким образом, чтобы повсюду в основе всего были внутренние, интуитивные, чувственные представления и чтобы зависящая от них и признаваемая от них зависимой истина опять-таки познавалась наглядным путем. Если какой-нибудь ученик поднимается выше этого, если он начинает мыслить понятиями, то это особый случай, обусловленный его индивидуальными способностями. Но обучение в народных школах не может на это рассчитывать и не должно насильно развивать эту форму умственной деятельности. Господствующий или преобладающий в них способ обучения всегда и везде наглядный. Человек с развитым логическим мышлением стоит выше этой точки зрения, но его познание основывается, если только оно непосредственное и живое, на чувственных представлениях. Заблуждения ученых, их ложные умозрения и системы вызваны отступлением от основ чувственного, наглядного познания, которое является общечеловеческой основой всякого истинного, самостоятельного, достигнутого благодаря самодеятельности, а потому точного и убедительного познания. Только на этом пути человек достигает самостоятельности в познании. «Свой ум — царь в голове», относится также к знанию и мышлению. Все остальное знание есть повторение чужих слов и обрекает на печальную участь, как правило, на всю жизнь, на зависимость и незрелость. Здесь учитель должен прозреть, с его глаз должна спасть по вязка, которую на них накинуло дурное обучение. Данное указание подтверждает великую истину слов: «Мудрым становишься только через свою собственную мудрость»2. 5. Какова программа преподавания геометрии в народной школе? Свойства (математических) линий, поверхностей и тел. 6. Какой порядок при этом надо принять? За исходную точку берется физическое тело, из него выводится математическое. Последовательное соединение отдельных уроков, как уже выше было сказано, должно быть по возможности генетическое. Педантизм и трусость здесь непригодны, как и везде. Наглядный во всем метод требует самобытности, т. е. установления всего познаваемого снизу, предусматривает сначала непосредственное, а затем непреднамеренное, само собой возникающее опосредствованное знание; возникновение второго — благодаря первому. 7. Какова материальная цель этого обучения? Познание свойств линий, поверхностей и тел, измерение и вычисление их. 8. Какие инструменты употребляет при этом ученик? Перо и грифель, так как он чертит; циркуль и масштаб, так как он измеряет; принятые в стране линейные, квадратные, кубические меры, так как он считает и вычисляет. Представьте себе такую школу, где отсутствуют все эти знания и навыки, и спросите себя: дает ли она общечеловеческое развитие, удовлетворяет ли она потребности практической жизни, принадлежит ли преподавание геометрии к важнейшим предметам общего преподавания в народных школах или же нет? III.